LIVRE II

20 Le lieu des milieux des cordes égales d’un cercle est un cercle concentrique au premier (104);

3° Le lieu des points cl’où l’on peut mener à un cercle des tangentes d’ une même longueur données st un cercle concentrique au premier (158) ;

4° Le lieu des points situés à une distance donnée d'une droite donnée est le système des deux droites parallèles à la droite donnée et situées à la distance donnée de cette droite (69);

5° Le lieu des points situés à une distance donnée d’un cercle donné est le système des deux cercles concentriques au premier, dont les rayons sont égaux au rayon du cercle primitif augmenté ou diminué de la distance donnée (114);

6° Le lieu des points équidistants de deux points donnés est la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui unit ces deux points(49);

7° Le lieu des points équidistants de deux droites qui se coupent est le système des bissectrices des angles formés par ces deux droites (53);

8° Le lieu des points cl’où l’on voit une portion de droite sous un angle donné est le système de deux arcs de cercle passant par les extrémités de la droite (134). En particulier, le lieu des points d’où l’on voit une portion de droite sous un angle droit est la circonférence dont cette portion de droite est un diamètre;

9° Le lieu des milieux des cordes d’un cercle qui passent par un point donné est le cercle qui a pour diamètre la droite qui joint le centre du cercle primitif au point donné, car du milieu de chacune de ces cordes on voit cette portion de droite sous un angle droit (102);

io° Le lieu des points dont les distances à deux droites qui se coupent ont une somme ou une différence donnée est le système de quatre droites. En effet, on prouve d’abord aisément que les points du lieu qui sont sur les deux droites données sont les sommets d’un rectangle dont ces deux ; droites sont les diagonales. Puis, en prenant un point sur l’un des côtés du rectangle (ou sur ce côté prolongé), on voit que la somme (ou la différence) des distances de ce point aux deux diagonales est égale à la distance d’un sommet du rectangle à la diagonale opposée. Nous nous bornons à ces indications, en proposant au lecteur comme exercice de trouver les détails de la démonstration;

ii° Le lieu des points M, tels que les pieds P, Q, R des perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés d’un triangle ABC soient en ligne droite , est le cercle circonscrit à ce triangle (fig. 126).

En effet, quelle que soit la position du point M dans le plan, les quadrilatères MRPA, MRCQ sont inscriptibles, puisque des points R et P on voit MA sous un angle droit, et que des points II et Q on voit MC sous un angle droit; il en résulte que les angles ARP, CRQ sont respectivement égaux aux angles AMP, CMQ.

Cela posé, si M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC, les angles

R. et r>E C. — Tr. de Géom. (Ire Partie). 7

GÉOMÉTRIE PLAISE

ÂMC et PMQ sont égaux comme ayant l’un et l’autre pour supplément l’angle B; et si de chacun de ces deux angles on retranche l’angle PMC, les restes, c’est-à-dire les angles AMP, CMQ, et, par suite, ARP et CRQ seront égaux, d’où il suit que P, R, Q sont en ligne droite. Inversement, si ces points sont en ligne droite, les angles ARP, CRQ sont égaux; par suite, AMP, CMQ le sont aussi, ainsi que les angles AMC, PMQ qu’on obtient en leur ajoutant PMC; or, comme l’angle PMQ est le supplément de B, il en est de môme de AMC; de sorte que le point M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Fig. 126.

Un remarquera que la proposition précédente et sa démonstration subsistent si, au lieu demener par le point M des perpendiculaires sur les trois côtés du triangle, on mène des droites également inclinées sur ces côtés.

Enfin, nous laissons au lecteur le soin de prouver que la droite PRQ, qu’on nomme droite de Simpson, est équidistante du point M et du point de concours des hauteurs du triangle ABC.

170. Voici maintenant quelques applications un peu moins simples que les exemples qui nous ont servi à exposer le principe de la méthode :

i° Construire un triangle ABC connaissant le côté AB, la hauteur correspondante et l’angle opposé C.

Le sommet C est à l’intersection du lieu des points qui sont à une distance de AB égale à la hauteur donnée (169, 4°) et du lieu des points d’où l’on voit AB sous l’angle donné (169, 8°). Le premier lieu se composant de deux droites parallèles à AB et l’autre de deux arcs de cercle passant par A et B, il y a, en apparence, quatre solutions, qui se réduisent, en réalité, à une seule, vu l’égalité des quatre triangles trouvés. Le problème n’est, d’ailleurs, possible que si la flèche de l’arc capable de C et décrit sur AB est supérieure ou égale à la hauteur donnée.

20 Mener entre deux cercles A et B une droite qui soit tangente au premier A et qui ait une longueur donnée.

Le cercle B est un premier lieu d’une extrémité de la droite; un se-