LIVRE II

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

cond lieu de la môme extrémité est un cercle concentrique à A (169, 3°). Le problème a quatre solutions, car de chacun des deux points communs aux deux lieux partent deux tangentes au cercle A.

Ainsi, dans ce problème, le nombre des solutions excède le nombre des points d’intersection des deux lieux, tandis qu’il était moindre dans le problème précédent.

3° Décrire un cercle qui touche à la fois une circonférence C et une droite AX en un point donné A (fig. 127).

La perpendiculaire élevée par le point A sur la droite donnée est évidemment un premier lieu du centre du cercle inconnu.

Cela posé, remarquons que ce centre est à une distance du point A égale au rayon du cercle cherché, et à une distance du point C égale à la somme ou à la différence des rayons du cercle inconnu et du cercle donné C, suivant que les cercles se touchent extérieurement ou intérieurement.

Donc, si l’on prend à partir du point A, de part et d’autre de la droite donnée AX et sur la perpendiculaire qu’on lui a menée au point A, deux longueurs AB et AB' égales au rayon du cercle C, on voit que le centre inconnu est équidistant de B et de C si le contact est extérieur, et de B' et de C si le contact est intérieur. Les perpendiculaires élevées sur les milieux de BG et de B'G forment donc un second lieu géométrique du centre cherché, et les points O et O' où elles coupent la perpendiculaire menée par A à la droite donnée sont les centres des deux cercles qui résolvent la question.

Le point O existe toujours, car G et B étant de part et d’autre de AX, les droites BG et AX se coupent et, par suite, aussi les perpendiculaires à ces deux droites. Mais le point O' peut cesser d’exister, car B'G peut être parallèle à AX; le cercle C touche alors AX, et c’est cette droite qui tient lieu du cercle O'.

GÉOMÉTRIE PLANE