CONSTRUCTIONS AUXILIAIRES : TRANSLATION, RENVERSEMENT, ETC

171. Dans un grand nombre de cas, une heureuse inspiration, fruit de l’habitude et d’un certain sentiment des choses géométriques, conduit à des constructions auxiliaires qui facilitent singulièrement la solution du problème proposé. On ne saurait évidemment formuler de règle générale; la diversité de ces constructions tient à la nature si variable du sujet lui-même, et constitue au fond la richesse inépuisable de la Géométrie. L’étude comparée de plusieurs exemples bien choisis est plus instructive assurément que bien des préceptes. Toutefois, il convient de signaler quelques procédés qui réussissent souvent; tels sont la translation, la rotation , ou le retournement de certaines parties de la figure qui, permettant de mieux grouper les données, de réunir les éléments épars, rendent plus aisée la construction de la figure définitive.

Voici quelques exemples de translation parallèle : i° Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés En transportant parallèlement à lui-même l’un des côtés non parallèles du trapèze jusqu’à ce qu’il rencontre l’autre, on obtient un parallélogramme et un triangle; on sait construire le triangle, puisqu’on a ses trois côtés, et la figure s’achève immédiatement.

i° Etant donnés deux parallèles XY, X'Y' et deux points A et B situés hors de ces parallèles et de côtés différents, trouver le plus court chemin de À en B par une ligne brisée AMNB, telle que la portion MN comprise entre les parallèles ait une direction donnée (ffg. 128).

Fig. 128. Fig. 12^

Si l’on transporte la portion intermédiaire MN parallèlement à ellemême au point B, c’est-à-dire si l’on mène BI parallèle à la direction donnée et égale à la longueur constante que les deux parallèles XY, X'Y' interceptent sur les droites ayant cette direction, on voit que la longueur de l’un quelconque AM'N'B des chemins considérés dans l’énoncé sera égale à celle de la ligne brisée AM'IB; elle se composera donc d’une partie constante BI et d’une partie variable AMI, et tout reviendra à chercher sur la droite XY la position du point M' pour laquelle le chemin AM'l est minimum. Or, cette position n’est autre évi-