LIVRE II

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

demment que le point M où la ligne droite AI coupe XY. Connaissant M, on n’a plus qu’à mener MN parallèle à la direction donnée et à tirer NB, pour obtenir le chemin minimum demandé AMNB.

3° Voici un mode de translation qui permet de résoudre un grand nombre de problèmes relatifs au quadrilatère ( fi g. 129) (1).

Dans un quadrilatère ABCD, on peut transporter AB et AD parallèlement à eux-mêmes en CBi et CDi. Le parallélogramme BBiDjD formé de la sorte contiendra les éléments du quadrilatère groupés d’une façon souvent avantageuse; les droites issues de C sont les côtés du quadrilatère et les angles formés autour de ce point sont les angles du quadrilatère; enfin les côtés du parallélogramme sont égaux aux diagonales du quadrilatère et forment les mêmes angles que celles-ci.

Par exemple, s’agit-il de construire un quadrilatère ABCD connaissant les diagonales, leur angle et les angles BCA, CAD. La connaissance des diagonales et de leur angle permet de tracer le parallélogramme BBi Di D ; puis, à l’aide des deux autres angles, qui sont respectivement égaux à BtBC, DD^, on a le point C par la rencontre de deux droites, et la figure totale s’ensuit.

4° Remarquons enfin que la translation parallèle permet de mener entre deux lignes données une droite de direction et de grandeur données .

Il suffit de déplacer l’une des lignes de façon que chacun de ses points décrive une droite égale et parallèle à la droite donnée; cette nouvelle ligne coupera la ligne qui est restée fixe aux points où devra passer la droite cherchée. Nous engageons le lecteur à appliquer la solution au cas où les lignes données sont deux droites, deux cercles ou une droite et un cercle.

172. On a vu, à propos du triangle isocèle, l’avantage qui peut résulter du retournement d’une figure, et, dans la théorie des perpendiculaires et des obliques, la facilité que présente l’adjonction à une figure de la figure symétrique par rapport à une droite convenablement choisie; sur la figure ainsi doublée, on saisit parfois d’un coup d’œil entre certaines lignes des relations qui seraient, sans cela, restées souvent inaperçues.

Voici d’autres exemples intéressants de cette méthode dite par repliement ou par symétrie :

i° Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur cette droite un point M tel que la somme AM -+- BM soit un minimum,

Si les deux points donnés sont, comme A et B' (fig. i3o), situés de part et d’autre de XY, la droite AB' résout la question ; elle coupe XY au point cherché.

(l) Petersen, Méthodes et théories pour la résolution des problèmes. (Traduit par M. Chemin.)

GÉOMÉTRIE PLANE

Si les deux points A et B sont d’un môme côté de XV (fig. i3o), on observe que tout point M' de XY est équidistant de B et de son symétrique B' par rapport à XY (48); le chemin AM'B' est donc égal à AM' B, et il suffit de chercher le minimum de AM'B'. A et B' étant de part et d’autre de XY, on n’a qu’à tirer la droite AB' qui rencontre XY au point cherché M. Il est bon de remarquer que les deux parties AM et MB du chemin minimum sont également inclinées sur XY. En effet, dans le rabattement de la figure autour de XY, le point M restant fixe, et B venant sur son symétrique B', l’angle BMY recouvre l’angle B'MY ; et, comme ce dernier est opposé par le sommet à AMX, on voit que les angles AMX, BMY sont égaux.

2° Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur cette droite un point M, tel que BM — AM soit un maximum.

Si les deux points donnés sont, comme A et B' (fig. i3i), situés d’un môme côté de XY, la droite AB' résout la question; elle coupe XY au point cherché M. En effet, M' étant un point quelconque de XY, on a dans le triangle B' M'A

AB' ou B'M — AM > B'M' — AM'.

Si les deux points A et B sont de part et d’autre de XY {fig. 1 3 1 ), on voit, en substituant, comme précédemment, au point B son symétrique B' par rapport à XY, qu’il suffit de tirer AB', qui coupe XY au point cherché M.

3° Le premier des deux problèmes que nous venons de traiter se présente en Optique dans la théorie des miroirs plans. L’angle d’incidence étant égal à l’angle de réflexion, pour qu’un rayon lumineux issu du point B vienne, après réflexion sur le miroir XY, passer par A, il faut qu’il soit dirigé vers le point M où le miroir est rencontré par la droite qui joint le point A au symétrique B' du point B. On voit par là que le chemin décrit par la lumière est le plus court parmi ceux qui vont de B en A en passant par un point de XY.