LIVRE li. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 1 ü

Il en esl de même lorsqu’un corps élastique, comme une bille de billard, vient se réfléchir sur la bande XY; pour que, lancée du point B, elle arrive en A, il faut qu’elle frappe la bande au point M où cette bande est rencontrée par AB'. Il est aisé, d’après cela, de résoudre le problème du billard polygonal :

Deux points B et Q étant marqués sur un billard polygonal XYZU . . . T, de n côtés , vers quel point M de la bande XY faut-il lancer une bille du point P, pour qu après réflexions sur les bandes successives XY, YZ, ZU, . . elle vienne passer par le point Q?

Quel que soit le point de la bande XY vers lequel on lance la bille, le prolongement de la route suivie par la bille après la réflexion passera par le point Pi symétrique de P par rapport à XY ; après la seconde réflexion, la bille se mouvra sur une droite issue du symétrique P2 de Pi par rapport à YZ, ... ; en continuant ainsi, on obtiendra un point P« par lequel doit passer le prolongement de la droite que suit la bille après la dernière réflexion; comme cette droite doit aussi passer par Q, la droite P«Q déterminera par son intersection avec la dernière bande le point où la bille doit la frapper; et l’on pourra dès lors, en remontant, tracer la route complète de la bille. Le problème ne sera évidemment possible que si les points d’incidence se trouvent sur les bandes ellesmêmes et non sur leurs prolongements.

En faisant la figure pour le cas du billard rectangulaire, on pourra constater que, pour que la bille revienne au point de départ, il faut la lancer parallèlement à l’une des diagonales du rectangle.

4° Construire un polygone connaissant en position les perpendiculaires al5 oc2, . . . , a/ir élevées sur les milieux des côtés (Petersen).

Soit A le sommet inconnu qui est situé sur le côté perpendiculaire à at ; prenons dans le plan un point arbitraire P, et construisons successivement le symétrique Pi de P par rapport à al5 le symétrique P2 de Pi par rapport à a2, . . ., et ainsi de suite jusqu’au symétriqne P„ par rapport à ctn. Si l’on avait opéré sur A comme l’on vient de le faire sur P, le point Art auquel on serait parvenu serait le point A lui-même, car Ai, A2, . . ., An seraient les sommets successifs du polygone. Or la longueur d’une portion de droite étant égale à celle de la droite symétrique, on aurait donc AP =AP«; la perpendiculaire élevée sur le milieu de PP,i passe donc par le sommet inconnu A. Un deuxième point arbitraire, Q sur lequel on opérera commo sur P, fournira un deuxième lieu du sommet A, qui sera ainsi déterminé par l’intersection de deux droites.

On résout par des considérations analogues la question qui consiste à tracer le polygone de périmètre minimum ayant respectivement un sommet sur chacune des droites indéfinies qui forment les côtés d'un polygone donné, attendu que deux côtés consécutifs du polygone inconnu doivent

GÉOMÉTRIE PLANE

(i°) être également inclinés sur la droite qui contient leur point d’intersection.

Nous ne donnerons qu’un exemple de l’emploi des rotations , nous proposant de revenir sur ce sujet après la théorie de l’homothétie.

Etant donnés deux cercles O et O' et deux points A et B situés sur la circonférence du cercle O, trouver sur cette même circonférence un point M tel que, si P et Q sont les points où AM et BM rencontrent respectivement la circonférence O', la droite PQ ait une longueur donnée (fg. 1 3 1 bis).

L’angle PO'Q est connu de grandeur, puisqu’il fait partie d'un triangle PO'Q dont on connaît les trois côtés. L’angle AMB est aussi

Fig. i 3 i bis.

connu, puisqu’il est inscrit dans un arc donné. Faisons tourner le triangle O' PA, autour de O', d’un angle to égal à PO'Q, de manière à amener O'P sur O' Q. Si A' est la position que prend ainsi le point A, et si l’on désigne par I l’intersection de PA et de QA', l’angle MIQ sera égal à l’angle de rotation to ou à son supplément. On connaîtra donc dans le triangle MIQ deux angles M et I et, par suite, l’angle BQA'. Mais B est donné, et le point A' s’obtient en faisant tourner O'A de l’angle to autour de O'. Donc le pointQsera sur le segment capable de l’angle connu BQA', décrit sur une droite connue BA'; comme ce point Q appartient, en outre, à la circonférence O', il sera déterminé.