LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

segments INA et NB déterminés par le point N, et dont AB est la somme, et de soustractifs les segments N'A et N'B déterminés parle point N', et dont AB est la différence.

Lorsqu’une droite AB est ainsi divisée par deux points N et N', de façon que les segments additifs NA et NB soient proportionnels aux segments soustractifs N'A et N'B, on dit que ces deux points N et N' divisent harmoniquement la droite AB ou sont conjugués harmoniques par rapport à la droite AB.

THÉORÈME

181. Deux droites quelconques sont coupées en parties proportionnelles par une série de droites parallèles ; en d’autres termes, lorsque deux droites AG, A' G', sont coupées par une série de parallèles AA', BB',..., GG', le rapport de deux segments quelconques de la première droite est égal au rapport des segments correspondants de la seconde [Jîg. i36, i3ç).

Il suffit (note i) de prouver :

i° Que, si deux segments AB et EF de la première droite sont égaux entre eux, les segments correspondants A'B' et E' F' de la seconde droite sont aussi égaux entre eux ;

2° Que, si sur la première droite, un segment EG est égal à la somme de deux autres AB et CD, sur la seconde droite, le segment E'G', correspondant à EG, est aussi égal à la somme des segments A'B' et C'D' qui correspondent à AB et à CD.

i° Menons A' P et E'Q parallèles à AG; A' P et AB seront égales comme parallèles comprises entre parallèles; E'Q sera égale à EF pour la même raison ; par suite, on aura A'P == E'Q, puisqu’on a par hypothèse AB = EF. D’ailleurs, les angles PA'B', QE' F', sont égaux comme correspondants, et les angles A'PB', E'QF', comme ayant les côtés parallèles et de même sens; donc, les triangles PA'B', QE'F', ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, sont égaux, et l’on a A'B' = E'FC

GÉOMÉTRIE PLANE

2° Puisque, par hypothèse, EF = AB, et GF = CD, on a, d’après l’alinéa qui précède, E'F/ = A/B/ et F'G'^^'D'; le segment E'G' est donc égal à la somme de A'B et de C'D'.

La figure peut offrir deux dispositions différentes; mais la démonstration ne change pas.

THÉORÈME

182. Toute parallèle DE à V un des côtés BG d’un triangle ABC divise les deux autres côtés en parties proportionnelles

(. fis • l38> 1 3q, 140).

Fig. i38. Fig. 139. Fig. \t\o. '

En effet, en concevant par le sommet A une parallèle à BC, on voit ( 181) qu’on a