La formule (i) peut encore s'écrire

(i') i{a-— a) =: r— Oy

288. On voit sur la figure que OF est plus grand que OG cl que OD est moindre que OC. Donc, quand on passe d'un polygone régulier au polygone régulier isopérimètre d'un nombre de côtés double, l'apothème augmente et le rayon diminue, de sorte que la différence entre le rayon et l'apothème va en décroissant.

On peut voir que la différence r' — a* est moindre que le quart dr h différence précédente r — a.

En effet, si du point 0 comme centre, avec OD pour rayon, on trace

l'arc DIE, on a

r'-a'--IF et r — rt-^CG-^aCF:

il 8*agit donc de prouver que IF est inférieur à la moitié de CF, c'està-dire que IF est moindre que CI. Or l'angle inscrit IDE et l'angle IDC. formé par une tangente et une corde ont pour mesure, le premier la moitié de Tare lE, le second la moitié de Tare DI; ces angles sont donc é<;aax, et Dl est la bissectrice de l'angle CDF. Donc enfin le rapport do IF à IC est égal à celui de la perpendiculaire DF à Toblique DC, et, par suite, moindre que i.

Le même fait ressort des formules précédentes.

Nous désignerons par a" et r* l'apothème et le rayon du polygone isopérimètre de 4« côtés, en sorte que 2»'= a'-+- r\ r"» = a't'.

Cela posé, on a, en vertu de 0"),

r — n 'i{^r — a) ~ 2{ra - n- > ^îi(/-'- — a'-) i{a' -r- r' ) ^a"^

or, les apothèmes allant en croisant, le dernier membre est plus petit

crue 7 .

i8*J. On peut encore remarquer (D. André, Nouvelles Annales y 1874) f;ue chacun des rapports

t«/ aussi inférieur à -- •^ 4

Cela est évident pour le premier ; car, en vertu de la formule ( 1') et de

I r'— a' «)n analogue a^—d-- - (/—«'), il est égal au rapport que

noas venons de considérer.

Quant au second, on a

rr"

ti

or, des trois facteurs qui figurent au dernier membre, les deux premier^ sont inférieurs à i et l'autre est moindre que 7*

l88 GÉOMÉTRIE PLANE.

290. Étant donnés les périmètres p et P de deux polygones réguliers de n côtés, l'un inscrit, l'autre circonscrit à un même cercle, calculer les périmètres p' et P' des polygones réguliers inscrit et circonscrit de in côtés.

Le rapport de similitade ou celui des périmètres étant égal au rapport des apothèmes (269), on a {fig, 197)

d'où

p OG p' P" oc' F