OD OF I

mais (286)

donc enfin

OF =3 - (OC H- OG) et OD =- /OC.OF;

P' " 'à\p "" P/ // •V'^ ^"P'* § VIII. — MESURE DE LA CIRCONFÉRENCE.

DÉPINITIO>'S.

291. Considérons {fig- 198) un arc de courbe plane AB el désignons par C, D, . . ., I, divers points silués sur cet arc el pris dans Tordre suivant lequel un mobile décrivant Parc AB de A vers B, sans jamais revenir sur ses pas, les rencontre^

raît. C et D étant deux points consécutifs quelconques, nous nommerons angle de Ja corde CD avec la tangente au point C 1 angle dont devrait tourner CD autour du point C supposé fixe pour que le point D vînt se confondre avec C. De même, l'angle de la corde CD avec la tangente au point D sera Tangle dont devrait tourner DC autour du point D supposé fixe pour que le point C vînt se confondre avec D.

Supposons les points A, C, D, ..., I, B, assez rapprochés pour que chacun des arcs partiels AC, CD, . . ., 10, soit convexe et que sa corde fasse des angles aigus avec les tangentes menées à ses deux extrémités. Dans ces conditions, nous donnerons à la ligne polygonale ACD...IB le nom de ligne brisée inscrite dans rare AB, et nous appellerons ligne brisée circonscrite correspondante la ligne AM'N'...rB dont les cotés touchent l'arc AB aux sommets A, C, D, . . . , I, B, de la Hj^ne brisée inscrite.

Cela posé, on ramène la notion de la longueur d'un arc de rourbe à celle de la longueur d'une ligne droite, à Taide de la définition suivante :

La longueur d*un arc de courbe est la limite vers laquelle tend le périmètre dUine ligne brisée inscrite dans cet arc, lorsque les côtés de cette ligne tendent vers zéro.

Toutefois, pour juslificr cette définition, il faut prouver que cette limite existe et ext unique, c'est-à-dire indépendante de la loi suivant laquelle les côtés tendent vers zéro.

Pour plus de clarté, nous diviserons la démonstration en deux parties.

I* Ijc rapport des périmètres d'une ligne brisée inscrite et de la ligne brisée circonscrite correspondante tend %*ers l'unité, quelle que

IQO GÊOXÉTRIE PLANK.

soit la loi suivant laquelle les côtés de la ligne inscrite tendent vert zéro.

En effet, soient M, N, • • , T, les projections des sommets M', N',

T', de la ligne circonscrite sur les côtés AC, CD, ..., IB, de la ligne inscrite. Puisque chacune de ces cordes fait des angles aigus avec les

tangentes à ses extrémités, les points M, N, T, tombent respecti-

vcment entre  et C, entre C et D, entre I et B (44). Le rapport

considéré est donc égal au suivant

AM'^ M'C-^W-^ ... riB.

AM MC -t CN " . . . TB '

et, comme la valeur de ce dernier est, d'après un théorème connu d'Arithmétique, comprise entre les valeurs du plus petit et du plus grand des rapports

A M' M'C CN^ rB