SC0LIB

285. Connaissant les côtés des polygones réguliers de n, 2n, 4198/1,... côtés, Inscrits dans le cercle de rayon i. on aura parla formule (t2)les côtés, et, par suite, les périmètres des polygones réguliers circonscrits semblables. Voici les résuluts que Ton obtient pour les séries qui dérivent du carré et de l'hexagone :

3ioabradMe6lit. Dcml-pértiiiètr«f.

4 4>ooooo

64 3,i44ia

Nombre des cAtéf. Oeml-pérlmèlrei.

Ces valeurs sont obtenues par excès à moins d'une unité du cinquième ordre décimal.

PROBLÈME

286. Étant donnés le rayon r et l'apothème a d'un poljrgone régulier de n côtés, calculer le rayon r' et rnpotlième a' du polygone régulier qui aurait in côtés et le même périmètre (f g. 197).

Fig. 197.

Soient aB le côté et 0 le centre du polygone donné; en menant le rayon OGC perpendiculaire sur AB, on aura

OC = r, OG -- a.

l86 GÉOMÉTRIE PLAKfî.

Tirons CA et CB, et joignons les milieux D et E de ces deux cordes. La droite DE, parallèle à AB et égale à sa moitié, sera le côté du polygone régulier qui a même périmètre et deux fois plus de côtés que le premier. D'ailleurs, l'angle DOE étant la moitié de l'angle au centre AOB du polygone primitif, le point O sera encore le centre du nouveau polygone, et l'on aura

OD r:r r', OF i^ û'.

Or, le point F est le milieu de CG ; donc

(i) OF==i(OG 4-OC) ou fl:^i(a-».r).

De plus, le triangle recungle ODC donne (222)

(i) UL'^OC.OF ou r''=z:r.a\ d'où

Les relations (i) et (?.) résolvent le problème proposé; la première permet de calculer a' ; puis, a' étant connu, la seconde donne r\

SCOLIBS.