CN

Considérons, par exemple, le rapport p^" Sur une droite afJ invariable de grandeur et de position, construisons un triangle a^Y^^^^^o^^ en ^ et dont Tangle aigu a soit égal à N'CN. Les triangles semblables (>NN', a^Y donneront la proportion

CN' ^Y , CN " 2p*

mais, lorsque le côté CD tend vers zéro, il en est do même de Tangle N'CN ou de son égal a. Par suite, la longueur fînie et variable «y ^°^ vers «p, et le rapport ci-dessus a pour limite Tunité.

2" Le périmètre d'wie ligne hrUée inscrite dont les côtét tendent vers zéro, n une limite déterminée et indépendante de la loi d'inscrip^ tion adoptée.

En effet, une première ligne brisée étant inscrite dans Tare AB, joignons un point quelconque de chacun des arcs sous-tendus par ses divers côtés aux extrémités du côté correspondant. Nous formerons ainsi une nouvelle ligne brisée inscrite ayant deux fois plus do côtés que la première. En opérant sur celle-là comme sur la précédente, et ainsi do suite, nous obtiendrons une série illimitée de lignes brisées inscrites .uiiiant une loi particulière. Les périmètres 71, 71? ^a» . • ., do ces lignes

croitront sans cosse et, comme ils restent moindres que le périmètre iJ^une ligue brisée, quelconque circonscrite à Tare AB, ils tendront vers une limite déterminée L. D'ailleurs (i*), les périmètres Qi, Qs, Qs, . . •, des lignes brisées circonscrites correspondantes tendront vers la même limite L.

Considérons maintenant une suite de lignes brisées inscrites dans i'arc AB suivant une loi quelconque, et dont les côtés tendent vers zéro.

Soient p le périmètre d'une ligne de cette série et P le périmètre de la ligne brisée circonscrite correspondante. P étant plus grand que Tune quelconque des lignes ^i, qt^ 93, . . . , sera supérieur ou égal à leur limite L. D'autre part, p étant moindre que l'une quelconque des lignes ^\i Qu Qs7 • • • ) sera au plus égal à leur limite L.

On aura donc

PÊL<P, d*où

P Mais le rapport - a pour limite Tunité (1°). Par conséquent, le rapport

-> étant compris entre i et une quantité qui tend vers i, a Tunilé peur

limite.

En d'autrei termes, p a aussi pour limite L.

2d2. De là résultent les propositions suivantes :

I* La ligne droite est le plus court chemin ci* un point à un autre.

Nous avons déjà d^'montré (38) qu'une portion de droite AB est moindre que (ouïe ligne brisée ayant les mômes extrémités A et B. Considérons maintenant un arc de courbe quelconque AMB; soient L sa toDgueur et L' la longueur d'une ligne brisée inscrite dans cet arc. L'inéi^'alité (38)