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IQ^ GÉOMÉTRIE PLA>'E.

2* Tout arc connexe a est moindre qu'une ligne quelconque p qui />/»veloppe en parlant des mêmes extrémités.

11 sufllt, en effet, de concevoir une ligne brisée convexe a! ÎDScrile dans Tare a et une ligne brisée p' inscrite dans Tare ^ et n'ayant aucun point commun avec l'arc a. On aura alors (39) a' < p', et par suite à la limite, lorsque les côtés des lignes brisées tendent vers zéro, a < p.

On verrait, par un raisonnement analogue, que le périmètre d'unf if^nc convexe fermée est moindre que le périmètre de toute ligne qui r enveloppe.

3° Le rapport d'un arc de courbe AC à sa corde [Jfg. 198) a pour limite runité, lorsque Varc tend vers zéro. — Car, en menant les tangentes AM' et CiM', on a (i*)

corde AC < arc AC < AM' -+- M'C, d'où

arcAC AM'-hM'C

corde AC^ AxM-t-MC

Or, on a prouvé (291, i") que ce dernier rapport a pour limite Tunilé lorsque l'arc AC tend vers zéro. La proposition est donc démontrée.

293. Le rapport de deux circonférences quelconques est égal au rapport de leurs rayons.

Soient K et R' les rayons, et C et C les longueurs de deux circonférences; inscrivons dans la première un polygone régulier quelconque et, dans la seconde, un polygone régulier d'un même nombre de côtés. P et P' étant les périmètres de ces polygones, on aura (212, 269)

Cette proportion, ayant lieu quel que soit le nombre des côtés des deux polygones, subsistera quand on fera croître ce nombre indéfînîment; mais alors, les périmètres P et P' tendront

vers leurs limites respectives C et C (291) et leur rapport

tendra vers ~ On aura donc, à la limite,

liyri iii. — lbs figures semblables. igs

Corollaire.

294, La proposition précédente donne

ce ce

Donc» le rapport d'une circonférence à son diamètre est le même pour toutes les circonférences; en d*autres termes :

Le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre constant.

Ce nombre, qu'on représente ordinairement par tt, est incommensurable (*); on ne peut donc pas l'avoir exactement; mais on peut le calculer, comme nous le montrerons bientôt, avec telle approximation qu'on veut. Voici sa valeur en décimales, ainsi que celle de son inverse et de son logarithme :

Tr r. SjiiJiSg 2653589795 23846. . . ,

logTrr^ 0,49714 987269413385435. . ..

^ En donnant à la formule — ^ :^ ~ les deux formes