C:^ 27rR. R=— ï

on voit : i" que, pour calculer la longueur d'une circonférence, il faut multiplier par le nombre tt le double de la longueur du rayon; 2® que, pour calculer le rayon d'une circonférence, il faut diviser par n ou multiplier par - la moitié de la longueur de la circonférence.

Exemples :

!• Quelle est la circonférence d'une roue de voiture dont le rayon est de o'",65î

(') Cett Lambert qui a démontré pour la première fois {^Mémoires de JJertin, 1761) que n est iacommenturable. Legendre a proafé plus tard qu'il en «%t de i»6mci du carré de «

H. et DB C. — Tr, de Géom, (!'• Pariiv). l3

l(j\ GfiOHBTRIB PLANE.

En mullipliant le rayon o'^^^ôS par 6"*, 28 qui est la valeur de S7r à moins d'un centième, on trouve pour la circonférence cherchée 4"'»o8à moins d'un centimètre.

a® (Juei est le rayon du méridien de Paris ?

On sait que la demi-circonférence de ce méridien est de 3OOO0OOO mèlres; en multipliant ce nombre par o^SiSSogg,

qui est la valeur de - à moins de 7 dix*millionième, on trouve

pour le rayon cherché 6366197 mètres à moins de i mètre.

âlfô. La longueur de l'arc de 180 degrés dans le cercle de rayon R, c'est-à-dire de la demi-circonférence, étant ?rR, la

longueur de Tare de i degré sera -jr-? et, par suite, la longueur l de l'arc de n degrés dans le cercle de rayon R a pour expression

/ ^^^ ~ itto *

Cette formule et les deux suivantes

qu'on en déduit, servent à calculer Tune quelconque des trois quantités /, n, R, lorsqu'on connaît les deux autres.

Exemples :

I® Sur une circonférence dont le rayon a o",9o, quelle est la longueur de l'arc de 25" 4^'?

On a ici

^45 *. 3 io3 /i = 25 -h 5^ — 25 -{- 7 = -7-»

et, par suite,

io3 • »y" / io3ic io3.3,i4 *

'= ï«3 ==-ti5^ = -1b5^=*' •'^°- •

2* Quel est l'arc dont la longueur est égale au rayon?

La seconde des formules qui précèdent donne pour le nombre de degrés de cet arc

3^ Quel est le rayon du cercle dans lequel l'arc de 3o degrés vaut I mètre?

La troisième formule donne

R= — ;r- = - =6.o,3i83 — i",Qio.

THÉORÈME

296. Deux arcs semblables, c'est-i-dire deux arcs qui répondent à des angles au centre égaux dans des cercles différents» sont proportionnels à leurs rayons.

En effet, soient / et l' les longueurs des deux arcs, R et R' leurs rayons, 0 et 0' les angles au centre égaux qui correspondent à ces arcs ; on a

27rK ~ 4 droits^ ar.R' ~ 4<li'0^^'

d'où, en divisant membre à membre et observant que 0 = 0',

SCOLIB.

297. Dans la pratique, on évalue les angles en parties aliquotes de la circonférence, c'est-àndire en degrés, minutes et secondes. Il n'en est plus de même en théorie, lorsqu'on veut introduire un angle dans une formule.

Soient VOX un angle et » le nombre qui le mesure, c'est-à-dire le rap-

Fis- tgg.

port de cet angle à l'angle unité UOX (fg. 19g). Décrivons du sommet commun 0 comme centre une circonférence, et désignons respectivement

igÔ GÉOMÉTRIE PLANE.

par T) /, l\ les nombres d'unités linéaires contenues dans le rayon et dan • les arcs AM, AN, interceptés entre les côtés des deux angles VOX, UOX. La proportionnalité des angles au centre aux arcs interccplés (126) donne

vox /

ou (1) = — •

UOX /'

Donc

1° Si on laisse arbitraire inutile linéaire et l^ unité angulaire, un angle (fuclconffue a pour mesure le rapport des nombres d* unités linéaires contenues dans les arcs que l'angle considéré et r angle unité interceptent sur une circonférence tjuelconque, décrite de leur sommet commun comme centrr.

2*" Si, sans fixer aucune des deux unités, on les fait correspondre l'une à l'autre, c'est-à-dire si l'on prend pour unité d'arc l'arc intercepté par l'unité d'angle, on a /' = i , et w = /.

Dans ce cas, un angle quelconque a même mesure que rare compris entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre avec un rayon quelconque; c'esl le théorème du n" 127.

3" Souvent, au lieu d'établir la correspondance entre l'unité linéaire et l'unité angulaire, on laisse indéterminée l'unité de longueur, et Ton fixe l'uni lé d'angle ; on prend pour unité angulaire P angle qui intercepte sur une circonjérence quelconque un arc égal au rayon. On a alors l'= r^ et par suite

« - - ou / = wr.

Dans ce cas, un angle quelconque a pour mesure le rapport de l'are qu'il intercepte sur une circonférence quelconque décrite de son sommet comme centre, au rayon de cette circonférence, et inversement, l'arc est égal à l'angle multiplié par le rayon.

Four rendre facile la comparaison entre ce mode de mesure et Téva* luation en degrés, minutes et secondes, il suffît de rappeler (295, a**) que l'angle unité est alors de 57''i7'44',8o.. . .

Ajoutons enfin que si, après avoir fixé de la sorte l'unité d'angle, on prend de plus le rayon r pour unité de longueur, on établit ainsi la correspondance des unités linéaire et angulaire, et Ton retombe sur la for-

mule o> = /. L'angle droit est alors mesuré par ~ — i»5707. . ., l'angle

de 4^ deerés par - > • • • > etc.

LIYRB III. — LBS FIGUBBS SEMBLABLES. igj

PROBLÈME

298. Calculer le rapport de la circonférence au diamètre. La formule

2 il

montre que, pour avoir tt, on peut :

Soit se donner le rayon R et calculer la longueur de la circonférence C : c'est la méthode des périmètres ;

Soit se donner la circonférence C et calculer le rayon R : c'est la méthode des isopérimètres,

299. Méthode des périmètres, — Pour R = i, la formule ( i ) donne t: = jC; le nombre tt est donc égal à la demi-circonférence de rayon i. Par suite, le demi-périmètre de tout polygone inscrit dans cette circonférence est une valeur de r, approchée par défaut, et le demi-périmètre de tout polygone circonscrit est une valeur de tt approchée par excès. Donc, si on calcule, comme au n'>283, en partant du carré inscrit, les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits de 8, i6, 3^,. . ., côtés, les nombres obtenus seront des valeurs par défaut de plus en plus voisines de tt; et de môme, si, en partant du carré circonscrit, on calcule, comme au n® 285, les demipérimètres des polygones réguliers circonscrits de 8, i6, 32,..., côtés, on aura des valeurs par excès de plus en plus voisines de tr. Par exemple, on trouve (283, 285) pour les demi-périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit dn 128 côtés. . . 3|i4i)7 et 3, 14223; on conclut de là que tt est compris entre ces deux nombres et que 3, 14^ est sa valeur â moins d'un millième.

On peut aussi partir de l'hexagone et calculer, comme aux n~ 283 et 285, les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits de 12, 24» 43*- - - 1 côtés.

Ainsi présentée, la méthode des périmètres est très-laborieuse; mais en revanche elle est très-simple en principe; c'est d'ailleurs la méthode suivie par Archimède, l'illustre géomètre qui vivait à Syracuse 260 ans avant J.-C, et auquel appartient la gloire d'avoir trouvé le premier le rapport de la circon-

ig8 GÉOMÉTRIE PLANE.

férence au diamèlre. Archimède» en partant de Thexagone ei en s'arrétant aux polygones inscrit et circonscrit de 96 côtés,

a prouvé que tt était compris entre 3 h et 3 h Ce der-

10 1^ nier nombre 3 h ou — > qui surpasse tt de moins d'un demi-

70 7 centième, suffit dans beaucoup d'applications.

Il convient de signaler encore la valeur par excès — -.^ 1 qui

est due à Adrien Métius, et dont l'erreur n'atteint pas un demimillionième.

Nous allons voir que la méthode des isopérimètres> publiée en 181 3y à Nancy, par le géomètre Schwab, conduit à des calculs beaucoup plus simples; nous reviendrons ensuite sur la méthode des périmètres, pour montrer qu'on peut la présenter de telle sorte qu'elle conduise identiquement aux mêmes calculs que celle des isopérimètres.

300. Méthode des isopérimètres. — Elle est fondée sur le principe suivant :

Le nombre - est compris entre les valeurs a et r de l'apO"

thème et du rayon de tout polygone régulier dont le péri^ mètre est égal à 2, et l'on peut prendre le nombre n des côtés du polygone assez grand pour que ces valeurs approchent au-

tant qu'on voudra de - •

En effet, le périmètre du polygone étant compris entre la circonférence inscrite et la circonférence circonscrite» on a

a7ra<ti<;?.7rr, d'où a<C-<ir,

D'ailleurs, l'excès du rayon OA ^ r sur l'apothème 06 = a (Jig. 197) étant moindre que la moitié A6 du côté du polygone»

et le côté ayant pour valeur - » on a

on peut donc prendre n assez grand pour que les différences

qui sont inférieures k r— a, deviennent moindres que toute quantité donnée.

L'application simultanée de ce principe et du problème du

n" 286 permet de calculer - et par suite tt avec telle approximation qu*on voudra.

On partira d'un polygone dont on sache trouver directement Tapothème et le rayon, par exemple du carré dont le périmètre

est égal à 2 ; le côté étant égal à - • Tapothème aura pour valeur

^= j et, le rayon, r

des formules du n^ 286, on calculera successivement les apothèmes et les rayons ai et r^ a^ et rs, . . ■ , a^ et rj^, ...» des polygones réguliers et isopérimètres ayant 4-2, 4-2^9 •••« 4.2*, . . ., côtés.

Voici le Tableau des calculs jusqu'au polygone de 128 côtés :

a ~- o,25ooooo. .

/ii -- 0,3017767. .

Oi - 0,3142087. .

as --^ 0,318245g. .

Ti -- 0,3266407. .

Ta 1^ o,32o3644* • Ta -- 0,3188217. .

rs == o,3i834i8. .

La dernière ligne montre que - est compris entre o,3i8a et

o,3t84, 6^ P^i* suite a pour valeur o,3i83, à moins d*un dixtniUième ; quant à tt, il est compris entre

= 3,142... et

c'est-à-dire entre 3, i4t et 3, i 43; il a donc pour valeur 3, 142, à moins d*un millième.

Oo peut remarquer que r=r 7 est la moyenne arithmétique

aoo fiEnatmiE PLiRE.

entre o et - et que r-— j^fj. est la moyenne gëomélrique entre

- et a, et l'on est ainsi conduit à ce tliéorème :

Le nombre - est la limite vers laquelle tend la suite des nombres

obtenus en partant de o et -i et prenant alternativement la

moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux qui précèdent.

Pour compléter l'exposition de la mâlhode, il reste à chercher une limite du nombre des opérations à Taire pour obtenir n avec une approzimalion donnée.

Pour obtenir - à moins de — - • il suffit qu'on ait

rx — tii-C — ■ Mais la différence r^-— i* est moindre successivement (288) que

j('-*-i — n*-i), 7ï(''*-i -"*->), ■■■. -. ir, — a,),

et, par conséquent, que

puisqucï-i — <»i = o,o2i8... est inférieur à — • L'inégalité primitive gcth donc vériGée si l'on a

et, a fortiori,

ue logi =o,6o3, ., est supérieur à -y- tionc, porir amr - à moim -t il suffit de pousser tes calculs jusqu'au poljgone de i.^^ cûlés, il Peniier égal oit immédiatement su/térieur A - ( hi — i ) illeurs, dès qu'on connaît une valeur approchée de - avec m d6ci-

maies exactes, m étant plus grand que tt, on peut compter sur /;/ — i décimales exactes dans la valeur approchée qui en résulte pour ~ ( M *

301 . On voit par ce qui précède combien le travail est considérable ; toute- ToiSfOn peut Tabréger considérablement à l'aide de la proposition suivante :

Le nombre — est compris entre les deux quantités

oit a et r désignent Vapothcme et le rtiynn d'un polygone régulier quel' conque, dont le périmètre est égal à -i^et ax et rj l'apothème et le rayon du polygone régulier isopérimètre d* un nombre de côtés double (E. Rouen Ê, Kouv . Annales^ 1882).

En cflet, n étant le nombre des côtés du premier polygone, désignons par/7jt, Tjt l'apothème et le rayon du polygone isopérimètre dont le nombre tlus côtés est /1.2*. Los rapports (289)

«• — rtl ^3 — «t a,n — (tm-\

ux—a oj - «1 am-\ — ihn-1

6tant moindres que -; j il en est de même du rapport obtenu en divisant la somme dfîs numérateurs par celle des dénominateurs, c'est-à-dire du rapport

Cl, par conséquent, de sa limite

(') En effet, si l'on désigne respectivement par t' et t les erreurs correspondantes de ff et de~9 et par e' et e les râleurs absolues de ces mêmes er* i^rs, on a

«'=1 *— = -, d'où «'<

on an conclut

e'<ioc, pourvu que Ton ait

e eit>à-dire.

e< <-(o,oi).

202 GÉOMfiTIlE PLAM.

lorsque l'entier m croit indéBoiment; on a donc

<- doù -.<fl,-t. -(fl,~^).

En raisonnant de même sur les rapports

on trouvera

ff G. Q. F. D.

Cela posé, revenons à la suite de Schwab

o, - > rt, r, rti, ri, «2, /'i, û| /"a» • • •

Tandis que la méthode ordinaire des isopérimètres consiste à prendre ^k et rk pour une valeur approchée de - > la méthode perfectionnée consistera à prendre les limites plus resserrées

'•*— j('"A-i — '•*) et «jt-+- -(fl*— /7jt-,).

Pour comparer la marche de Tapproximation dans les deux cas, remarquons que la différence entre les deux limites précédentes

ou (289)

ô(''*-| — «Ar-l) — ^ {rk — fk)

est moindre que

puisque Ojt, au moins égal à ai = 0, 3oi . . ., reste supérieur à -- • Dia-

prés cela, pour obtenir - à moins de — 9 il sufQt qu'on ait

\ K Kj ^ a. 10"*"^* et, a fortiori,

puisque rk — au est inférieur (300) à -r — et que - est supérieur à 4*

On déduit de là successivement

Ainsi, /?a«r avoir - à moins de — jj^j il suffira de pousser les calculs

jusqiâau pofyfçone fte 4«^^ côtés ^ k étant V entier égal ou immédiatement

supérieur h il5/w — 8).

Cette nouvelle limite étant au plus égale à la moitié de celle du numéro précédent, on voit que remploi de la méthode perfectionnée diminue certainement le travail de moitié»

302. Retour à la méthode des périmètres. — Nous avons dit (299) que la méthode des périmètres convenablement dirigée conduisait à des calculs identiques aux précédents.

En effet, p et P étant les périmètres de deux polygones réguliers semhtables, FuQ inscrit, l'autre circonscrit, et/^'et F étant les périmètres des deux polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de cétés double, on a (290)

Les nombres

îi> ~> nî» "#'

''Ont donc, à partir du troisième, alternativement moyens arithmétiques ti moyens géométriques entre les deux qui précèdent. D'ailleurs, si Ton

[^rend le rayon du cercle égal à -» on a

TC = C ou " ~ Xi

it G

et, par suite, - est la limite de la suite formée par les inversos des péri-

mètres des polygones réguliers circonscrits et inscrits dont le nombre des c6tés va en doublant. Enûn, si Ton part des carrés circonscrit et inscrit, les deux premiers te .mes de la série sont

p-4' ^' T' n Ton retombe sur le théorème de Schwab énoncé au n* 300.

•20^ GÊOUfiTRIB PLÀNX.