AB CA

sinY0X""8inL0y'

d*où Ton déduit, en observant que la projection ab du segment AB est égale en grandeur et en signe à AC,

smXOY

formule conforme à l'énoncé.

Quand les projections sont orthogonales, on a

XOY = - , LOY = XOY - XOL = - - XOL h- 2//r ; par suite,

ir^ = AB sin (j^ - XOl) = AB cosXOL.

Donc, la projection orthogonale d'un segment est égale au produit de ce segment par le cosinus de l*angle de la direction positive de faxe avec la direction positive de la base du segment.

B. et DB C. — 7V. de Gcom, (i** Partie). '4

•klO

Il suffit, d'après cela, de remplacer dans le théorème des projections le^ projections des composantes et de la résultante par leurs expressions trigonométriques pour obtenir une relation entre les segments et les angles de la figure.

n. — Transversales dans le triangle.

309. Lorsqu'une transversale abc (fig. 2o3 et ao3') rencontre les trois côtés d'un triangle ABC, regardés comme indéfinis, chacun des points d'intersection a, b, c,est l'origine commune de deux segments ayant pour extrémités les extrémités du côté que Ton considère. Ainsi, sur AB, sont les

Fig. so3»

Fig. 3o3'.

deux segments ck et cB, sur BC les s^ments aB et aC, et sur CA les segments bC et bX, Les deux segments relatifs à un môme côté sont de signes contraires ou de môme signe (303), suivant que la transversale coupe le côté lui-môme ou son prolongement.

THÉORÈME

310. Quand un triangle ABC est coupé par une transversale abc (fig. ao'î

ot >o3'), il existe, entre les segments que cette droite détermine sur les côtés,

la relation

aB bC cX

flC bX c\i

En effet, en menant CD parallèle à AB, on a, dans les triangles sem'

blables aCD, aBr,

flB cB

flC~DG' et, dans les triangles semblables 6CD, bcX

bC DC

oX cX'

LIYRB III. — LES F16URB8 SEMBLABLES. ail

il sufDl donc de multiplier ces deux proportions membre à menobre pour avoir la relation (i), qui se trouve ainsi démontrée en valeur absolue.

Il reste à prouver que, eu égard aux signes des segments, c'est le signe H- qui convient au second membre de cette égalité. Or il ne peut se présenter que deux cas : la transversale coupe deux côtés et le prolongement du troisième (Jig. ao3), ou elle coupe les prolongements des trois côtés (fig, 2o3'). Dans le premier cas, deux des rapports qui figurent dans le premier membre sont négatifs, et le troisième positif; dans le second cas, les trois rapports sont positifs. Le produit des trois rapports a donc toujours le signe +.

Réciproquement, si sur tes trois côtés d'un triangle ABC consi^ dérés comme indéfinis^ on prend trois points /i, 6, c, tels que la relation (i) soit satisfaite, ces trois points seront en ligne droite.

En effet, en désignant par c' le point où la droite ab rencontre AB, on a,

d*après ce qui précède,

riB ^ f^A .

aC'^A'c'B^" '*'

par suite, en comparant cette relation à la relation (i), qui est satisfaite

par hypothèse, on a

c'a ck

?B"cB'

Donc (303) c' coïncide avec c, et les trois points a, 6, c, sont en ligne droite.

Observons que la relation (i), qu'on prend ici pour hypothèse, exige que le nombre des rapports négatifs du premier membre soit pair, c'està-dire que, parmi les trois points a, 6,c, il y en ait un nombre pair situé sur les côtés et, par suite, un nombre impair sur les prolongements.

On peut encore remarquer que les numérateurs des trois rapports sont trois segments sans extrémités communes; il en est de même pour les dénominateurs.

Le théorème qui précède, attribué à MénélaQs, géomètre grec antérieur de près d*un siècle à Ptolémée, sert à prouver que trois points d'une figure sont en ligne droite; outre cet usage spécial, il intervient souvent d'une manière utile comme intermédiaire dans certaines démonstrations.

Dans ce théorème, les seuls signes qui interviennent sont ceux des trois rapports formés par les couples de segments relatifs à chaque côté du triangle; il n'est donc pas nécessaire de fixer les signes des segments eux* mêmes. Il sufiit, par exemple, dans la fg, 2o3, de donner à 6C et à ^A des signes opposés, que le sens positif des segments comptés sur AC soit AC ou CA.

2ia

GfiOMÉTRIE PLANE.

Toutefois, il est souvent commode dans les applications de fixer le sens positif pour chaque c6tô du triangle ÂfiC. Supposons, par exemple, qu'on adopte pour sens positif de chaque côté le sens dans lequel ce côté est parcouru quand on décrit le contour du triangle dans l'ordre alphabétique ABC ; alors, dans \difig' 2o3, les segments cBel 6Â seront seuls positifs, les autres seront négatifs ; dans la fig, 2o3', tous les segments seront négatifs ; dans les deux cas, le nombre des segments négatifs étant pair, le premier membre de la relation (i) aura le signe +, comme cela doit être.

THÉORÈME

311. Les droites menées d'un même point 0 [fig* 204 et ao5) auj^ trois sommets d'un triangle ABC rencontrent les côtés opposés, considérés comme indéfinis, en trois points a, 6, c, qui satisfont à la relation

oB ÙC c\ aC'bX'cB

En effet, le triangle AGa, coupé par la transversale B^, donne

Brt OA ^ BC'Oa'ùX

Fig. 3o{.

Le triangle AB/?, coupé par la transversale Ce, donne à son tour

CB Oa cX^

En multipliant membre à membre ces deux égalités, on obtient la

relation

alR bC eA CB aC'bA cB'BC""''

CB

qui ne diffère pas de la relation (a), puisque gQ = ~ '•

LITRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 2l3

Réciproquement, si, par les sommets d'un triangle ABC, on mène trois droites ka^ fi^, Ce, teUes que la relation (2) soit vérifiée, ces trois droites passent par un même /foint.

En effet, en désignant par 0 le point de concours de Aaei de B6, et par c' le point où GO rencontre le côté Afi, on a, d'après ce qui précède,

oB bC c^ =

d'où, en comparant avec la relation (a) qui est satisfaite par hypothèse,

cA c'a cti "^Tb"

Les points c et e' coïncident donc (303) ; en d'autres termes, la droite Ce passe par l'intersection 0 de  a et de B^.

Corollaire.

312. Le théorème qui précède, dû à Jean de Céva, géomètre italien du XVI* siècle, sert à prouver que trois droites d'une figure sont concourantes; il peut aussi intervenir comme auxiliaire utile dans certaines démonstrations.

Voici quelques exemples :

I* Dans tout triangle ABC^ les trois médianes Aa, B^, Coupassent par un même point; car chacun des rapports qui figurent dans le premier membre de la relation (a) est alors égal à — i.

a* Dans tout triangle ABC, les bissectrices Aa, B6, Ce, des trois angles passent par un même point.

En effet, en vertu du n^ 181, les rapports négatifs qui figurent dans le premier membre do la relation (2) sont, en valeur absolue, respectivement égaux aux rapports

Aj} BC AC ÂC ' AB ' BC '

dont le produit est égal à i.

On verrait de mémo que les bissectrices des suppléments de deux angles et la bissectrice du troisième angle passent par un même point,

y Dans tout triangle ABC, les trois hauteurs Aa, B^, Ce ^passent par un même point*

En effet, les triangles semblables BA^, CAc donnent

c\ AC h A AU'

2j4 Géométrie plane.

el Ton a de même

d*où Ton voit, en multipliant membre à membre, que le produit -riTT*-» 6S^ en valeur absolue, égal à i. D'ailleurs, chacun de ces

OKj ÙA CD

trois rapports est négatif; donc leur produit est égal à — i.

SCOLIB.

313. Si par les sommets cPun triangie ABC on mène trois droites quel» conques rencontrant respectivement les côtés opposés en 0, b^e^on a la relation (Jig, 2o5)

.j, flB bC^ ck singAB sin^BC sinrCA

^ flC'^A'cB""8inflAC'sin^BA'sincCB'

En effet, les triangles aAB et aCA donnent (307)

^B ^ BA aC CA .

sinBAa " sinAaB' sinCA^r" sinAaG'

d'où, en divisant membre à membre,

oB AB sîngAB, flC~" AC sinaAC'

bC

et il suffît de transporter cette valeur et les valeurs analogues de t-t y

rA

-^ dans le premier membre de (3) pour tomber sur le second membre.

De ce lemme et des théorèmes de Ménélaiis et de Jean de Céva, résultent immédiatement les propositions suivantes :

!• Si par les trois sommets d\in triangle ABC on mène trois droites rencontrant les côtés opposés aux trois points a, ^, c situés en ligne droite, on a la relation

sin/iAB sin^BC sinrCA sinaAC sin6BA sincCB

1* Quand trois droites issues des sommets d'un triang^ ABC passent par un même point 0, on a

sinOAB sinOBC sinOCA sinOAC ■ sinOBA " smSCB ~ ' '

QUADBILATBRE COMPLET.

314. On appelle quadriiatère complet la figure formée par le système de quatre droites ou, en d'autres termes, la figure formée en prolongeant jusqu'à leurs points de rencontre E et F les côtés opposés d'un quadrilatère ordinaire ÂBCD. Un quadrilatère complet AfiCDEF (fg, 206] a six sommets et trois diagonales : les sommets sont les points d'intersection A, B, C, D, E, F, des quatre droites considérées, et les diagonales sont les droites AC, BD, EF, qui joignent tes trois couples de sommets opposés.

Nous allons démontrer, comme application de la théorie des transversales, deux propriétés fondamentales du quadrilatère complet.

3i5. Dans tout quadrilatère complet, chaque diagonale est divisée harmoniquement par les deux autres (Pappus, Math, coll., lib. III, propositio 129).

Soit, par exemple, la diagonale EF qui est coupée en P et en Q par les

Fig. ao6.

diagonales AC et BD (y^. ao6) ; il s'agit de prouver la relation ( 180, 303; n suffit, pour cela, de diviser membre à membre les deux égalités

§?.5£ Ç^ t El P? 1^