CA . DA DA . B A

CB'DB' DCBC'"*'

qo«v nous désignerons respectivement par (ÂBCD), (ACDB), ....

Il importe de se familiariser avec cette notation. En appelant /^r^miVrr lioint celui qui répond à la première lettre à gauche dans la parenthèse, deuxième fyolnt celui qui répond à la seconde lettre à gauche, etc., on prend toujours le rapport des distances du troisième point au premier et au deuxième, et on le divise par le rapport des distances du quatrième point au premier et au deuxième.

Trois points A, B, C, étant donnés d'une manière quelconque sur une droite tndé6nie, on peut déterminer sur cette droite un quatrième point D tel, que le rapport anharmonique des quatre points A, B, C, D, ait une valeur donnée X en grandeur et en signe. Car la relation

CA.DA ?^i ^

CB-DB" • °" DB~>'Cii'

dont le second membre est entièrement connu, détermine (303) le point D. Toutefois, pour que ce point D soit distinct des trois premiers, il faut que \ n'ait aucune des trois valeurs o, oo ou + 1 . En effet, si \ était nul, on aurait, en vertu de la relation précédente, DB = o, et D coïnciderait avec B ; si > était infîniy on aurait DA = o, et D coïnciderait avec A; enGn, si \ était

égal à -4-1, on aurait î^n ^ 7?» ' ^^ ï^ coïnciderait avec C. Ainsi, le rop-

port anharmonique de quatre points distincts peut a\H)ir une valeur quelconque, positive ou négative , excepté les valeurs o, 00 et -^-i.

Le rapport anharmonique de quatre points ABCD n'est pas altéré lorsqu'on échan/B^e entre eux deux de ces points, pourvu qu'en mémo temps on échange entre eux les deux autres. Ainsi Ton a

^ARrn CA.DA CA.DB