AC . BC AC.BD AD* BD " AD.BC

rCDVBi-^^-^^' ^ AC.BD

et par suite

(ABCD) = (CDAB).

Avec les quatre mômes points A, B, C, D, on peut former vingt-quatre rapports anharmoniques,dont six seulement sont distincts. Lorsque, dans on théorème, nous parlerons du rapport anharmonique de quatre points, sans indiquer spécialement l'un de ces rapports, il faudra entendre que le théorème s'applique indifféremment à l'un quelconque d'entre eux .

319» On donne le nom ùo faisceau à un système quelconque {fig. ao8} de droites OM, ON, OP, OQ, issues d'un môme point 0. Le point 0 est

2l8 OÉOMfiTRlB PLANS.

dit le centre du faisceau, dont les droites DM, ON, OP, OQ, sont appelées les rayons.

THÉORÈME

320. LorsqtCtm faisceau de quatre droites OM, ON, OP, OQ, e^t coapc par deux transversales L et L', le rapport anharmonique des quatre points A, B, C, D, déterminés sur la première transversale^ est égal au rapport anharmonique des quatre points A', B', C, D', déterminés sur la seconde (fig* ao8).

Nous allons démontrer, par exemple, l'égalité (ÂBCD) = (A'B'G'D'). Les rapports ^ 9 p^ > ayant le môme signe ainsi que les rapports

ï7d9 iv"^/» ^^ ^° ^^ ^® même pour les quotients ou rapports anhar-

moniques gn • gôi gTg-' '- kt^ > et il reste à démontrer Tégalité des vtleurs absolues de ces derniers rapports.

Or, en menant par le point B la parallèle 67^ à OA, on a, par les triangles semblables CAO et CB7, DAO et DB^, les proportions

CAOA DA^OA CB~yB' DB~8B'

qui, divisées membre à membre, donnent

En menant par B' la parallèle B'7'J' à OA, on obtiendrait de même

L'égalité manifeste des seconds membres des deux relations qui précèdent prouve l'égalité de leurs premiers membres.

Od peut considérer la figure rectiligne A'B'G'D' comme la perspective ou projection concourante de la figure rectiligne ABCD, cette projection étant faite du centre 0 et suivant les rayons projetants OA, OB, OC, OD. De là, cet autre énoncé fort commode du théorème qui nous occupe : le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est projectif. Si le centre 0 est à rinûni, les rayons OA,.OB, OC, OD, sont parallèles, et le théorème subsiste.

Voici de ce théorème fondamental une démonstration un peu différente qui a l'avantage de fournir une expression trigonométrlque utile de la valeur du rapport anharmonique