RAPPORTS ANHARUONIQUBS D*1JN FAISCEAU

321 . On nomme rapports anharmoniques d* un faisceau de quatre droites les rapports anharmoniques des quatre points déterminés par ce faisceau sur une transversale quelconque. Ainsi, (ABCD), (ACDB), . . . ( 318) sont des rapporta anharmoniques du faisceau formé par les droites OM, ON, OP,0(j (fig, ao8). On désigne ces rapports anharmoniques du faisceau par la noUtion (O.ABCD), (O.ACDB),

a:SO GÉOMÉTRIE PLANB.

0 résulte d'ailleurs da n* 318 que le rapport anharmonique d*un faisceau ne change pas de valeur lorsqu'on échange deux rayons quelconques, pourvu qu'on échange en même temps les deux antres; de sorte qu'on a, par exemple, (O.AfiCD) = (O.CDAB).

Il résulte de la seconde démonstration donnée au numéro précédent que le rapport anharmonique (O.ABGD) du faisceau a pour expression

sinCOA .sinDOÀ sinCOfi ' sinDOB*

H est évident, d'après cela, que deux foisceaux qui ont respectivement les mômes angles ont les mêmes rapports anharmoniques. Voici deux exemples importants de faisceaux de cette nature :

I* Si l'on joint un point quelconque 0 dUtne circonférence à quatre points fixes A, B, C, D, de cette circonférence, le rapport anluinnonique du faisceau ainsi obtenu est constant, quelle que soit la position du point O sur la circonférence. Il résulte, en effet, des propriétés des angles inscrits que le point 0 se déplaçant, et les points A, B, G, D, restant fixes sur la circonférence, le faisceau conserve les mêmes angles. Ce rapport constant est ce qu'on appelle le rapport anharmonique des quatre points A, B, C, D, du cercle.

a* Si l'on joint le centre d'un cercle aux points où quatre tangentes fixes sont coupées par une cinquième tangente, le rapjM>rt anharmonique du faisceau ainsi obtenu est constant, quelle que soit la cinquième tangente. En effet, l'angle sous lequel on voit du centre la portion d'une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est évidemment égal à la moitié de Tangle des deux rayons qui aboutissent aux points de contact de ces tangentes fixes. Cet angle est donc constant, et par suite le faisceau considéré conserve les mêmes angles, quelle que soit la position de la cinquième tangente.

On voit par là que le rapport anharmonique des points suipont lesquels une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant. Ce rapport est ce qu'on appelle le rapport anharmonique des quatre fanantes fixes.

Le rapport anlmrmonique de quatre tangentes à un cercle est égal au rapport anluirmonique des quatre points de contact; car le faisceau partant du centre du cercle, et aboutissant aux points dlntersection de ces quatre tangentes avec une cinquième, a ses rayons respectivement perpendiculaires à ceux du faisceau partant du point de contact de la cinquième tangente et aboutissant aux points de contact des quatre tangentes considérées (320, 71).

TUEORÈMB.

3Sâ. Qmmd deux faisceaux tle quatre droites OA, OB, OC, OD, et O'A', OU', O'C, O'D', ont wi rapport anharmonique égal et un rajron fiomohgae commun OO', les trois points 6, 7, ^, d* intersection des autrès rttyons lêomologues pris deux à deux, sont en ligne droite [fig* 209).

Fig. 309*

En effet, désignons respeclive* ment par «, ^, ^\ les points où la droite Py rencontre 00', OD, O'D'; on aura, d*aprés l'hypothèse (320),

Donc ^ et ^' coïncident (318), et les trois points p, 7,^, sont en ligne droite.

Corollaire.

323. Lorsque deux faisceaux de quatre droites correspondantes ont un rapport anharmonique égal, les autres rapports anharmoniques sont égaux de part et d'autre.

En effet, en plaçant les deux faisceaux de façon que deux rayons homologues soient sur la môme droite, rëgalité de l'un des rapports anbarmoniques exigera que les autres rayons homologues se coupent sur

THÉORÈME

324, Quand deux figures rerti* lignes de quatre points A, B, C, D, et A', B', C, D', ont un rapport anharmonique égal et un point /lomo' logue commun A, les trois droites BB', ce, DD', qui joignent les autres points homologues pris deux à deux, concourent en un même point 0 (fig.ikio).

Fig. 310.

En effet, soit 0 le point de concours de BB' et de CC, et désignons par è le point où OD' rencontre la droite ABC; on aura (320)