D'après cela, on peut dire (332) que

Dtuu tout système harmonique de quatre points, la distance de l'un des points à son conjugué est la moyenne harmonique de la distance du même point aux deux outrés;

Dans tout système harmonique de quatre points, un point est, par rapport à son conjugué, le centre des moyennes harmoniques des deux autres points.

337. On appelle yai^c^aïf harmonique tout faisceau de quatre droites OA, OB, OC, OD, dont le rapport anharmonique (O.ABCD) est égal è — I, c'est-à-dire (321) tout faisceau qui détermine sur une transversale quelconque un système de quatre points harmoniques (yf^. 21 5). On dii alors que les rayons OC et OD sont conjugués harmoniques par rapport aux rayons OA et OB, ou qu'ils divisent harmoniquement l'angle AOB; et, de mémo que les rayons OAetOB sont conjugués harmoniques par rap- |)ort aux rayons OCetOD ou qu'ils divisent harmoniquement l'angle COD.

Il est clair, d'après ce qui précède, que si, par un point C pris d'une manière quelconque dans le plan d'un angle AOB, on mène diverses secantes telles que ACB, en prenant sur c/uique sécante le point D conjugué harmonique du point C par rapport au segment AB intercepté entre les côtés tle l* angle, le lieu du point D sera le rayon OD conj'ugué harmonique tk OC par rapport à Vangle AOB. Ainsi, pendant que la sécante tourne autour du point C, le conjugué D de ce point fixe décrit une droite fixe OD. On donne à la droite OD le nom de jyolaire du point C par rapport à Vangle AOB, et au point C le nom de i>6le de la droite OD par rapport au même angle AOB.

Steiner a déduit de ce principe une démonstration très-élégante de la propriété fondamentale (315) du quadrilatère complet. Reportons-nous à \9ifig, ao6. Soient P' le conjugué harmonique de P par rapport à EF, et R' le conjugué harmonique de R par rapport à BD ; P' et R' devront appartenir Tun et l'autre à la droite conjuguée harmonique de AC par rapport à Tangle EAF et, aussi, à la droite conjuguée harmonique de AC par rap« port à Tangle ECF. Les deux points P' et R' coïncident donc et ne diffè-

'228 GÉOMÉTRIR PLANE.

rent pas de rîntersection Q de BD et de EF; les systèmes EPFQ, BRDQ, sont par suite harmoniques; et Ton démontrerait d'une manière analogue qu'il en est de môme du système ÀRCP.

On voit en outre que, si par un point Q, pHs dans le plan d'un angle EAF, on mène deiuc transversales QDB, QFE, le lieu du point d* intersection C des droites BF, ED, est la polaire du point Q par rapport à l*angle EAF ; de là résulte un moyen fort simple de construire, avec la règle seule, la polaire d'un point par rapport à un angle.

THÉORÈME

338. Dans un faiscçau harmonique OA, OB, OC, OD, toute transversale A'B'C'D', parallèle h l'un des rayons OD, est coupée par les trois autres rayons en deux parties égales [fig, 2i5 ),

Fig. ai 5.

En effet, dans le système harmonique A'B'C'D', le point D' étant à Tinfini, puisque A'D' est parallèle à OD, son conjugué C doit être au milieu du segment A' B' (333).

Réciproquement, un faisceau de quatre divites OA, OB, OC, OD, est harmonique si une parallèle A'B'C'D' à l'un des rayons est divisée en deux parties égales par les trois autres.

En effet, le point C étant le milieu du segment A'B', ce segment est divisé harmoniquement par le point C et par le point D' situé à Tinfîni sur A'B', c'est-à-dire par le point C et parle point d'intersection de A'B* et de OD. Le faisceau divisant harmoniquement la transversale particulière A'B'C'D' divise harmoniquement toute autre transversale ACBD (320), et par suite est un faisceau harmonique.

Corollaires.

339. Lorsque, dans un faisceau harmonique, ileux rayons conjugués OC et OD sont rectangulaires, ces rayons sont les bissectrices des deux angles supplémentaires, formés par les deux autres rayons OA etOB; car une transversale A'C'B', perpendiculaire à OC, étant alors parallèle à OD,

on a Â'C'=G'B'; par suite, les triangles rectangles OC' A', OCB', sont égaux, et OC est la bissectrice de l'angle ÂOB.

La proposition réciproque : Un angle quelconque AOB est dtmé harnwniquement par sa bissectrice OC et celle OD de son supplément, résulterait pareillement du n*^ 338. Elle a d'ailleurs été démontrée directement au n"* 193.

POLB ET POLAIRE DANS LE CBBCLB.

THÉORÈME

340. Sif par un point 0 pris dans le plan d*un cercle C, on mène une sécante quelconque OFE, et qu'on détermine le conjugué harmonique I du point Opar rapport À EF, le lieu géométrique du point I, lorsque la se' cante tourne autour du point 0, est une ligne droite perpendiculaire au diamètre AB qui passe par le point 0 (Jig. 216 et 217).

Fig. 317.

En effet, soit II le conjugué harmonique de 0 par rapport à AB ; si Ton joignait EA et £B, le faisceau (EA, EH, EB, EO) serait harmonique et, comme EA et EB sont rectangulaires, EB serait la bissectrice do Fangle BEF (339). Mais dès lors les arcs BF et BF'^tant égaux, la droite HO est la bissectrice de l'angle FHF', et, par suite, la perpendiculaire HZ est bissectrice de Tanglo supplémentaire FHL. Or, dans tout triangle HEF, la base EF est divisée harmouiquemont par les bissectrices HZ et HO de l'angle au sommet et de son supplément. Donc, le point I est situé sur la perpendiculaire HZ au diamètre AB.

341. On dit que le point 0 est le pèle de la droite HZ, et que la droite HZ est la polaire du point 0 par rapport au cercle C. Le diamètre AB qui passe par le pôle étant divisé harmoniquement par

23o GÉOSflÊTRIR PLANR.

le pôle 0 et le pied H de la polaire, on a (332) en grandeur et en signe la relation