CH.CO=:R

Donc la droite lU est la polaire du point 0. Il résulte de là : i** que la polaire IH d'un point quelconque 0 de la droite XY passe par le pôle I de cette droite ; 2* que le pôle I d*une droite quelconque XY passant par un point 0 est située sur la polaire IH de ce point.

COROLIAIRE.

343. Toute droite a pour pôle l* intersection des polaires de deux de ses points. Tout point a pour polaire la droite qui Joint les pâles de deux droites menées par ce point,

THÉORÈME

344. Sif par un point 0 pris dans le plan d*un cercle^ on mène deux

transversales OAB, OA'B\ qu^on tire les droites AA', BB\ qui se coupent

en'iâ^ et les droites AB', BA', qtd se coupent en 'S, le lieu géométrique des

points M et N, lorsqu^on fait varier les sécantes OAB, 0 A'B', est la po»

taire du point 0 (fig. 219 et %io).

Fig. 3i9«

Fig. a'jo.

En effet, si Ton tire MN et si l'on nomme I et V les points où cette droite coupe AB et A'B', on voit, en considérant le quadrilatère complet

qui reçoit le nom de cercle directeur. Tels sont, par exemple, un polygone quelconque inscrit dans un cercle et le polygone circonscrit formé en menant des tangentes par les sommets du polygone inscrit

(fis- M2).

Considérons en second lieu une courbe quelconque ABC (fig, 223). En prenant, par rapport à un cercle quelconque 0 situé dans son plan,

Fig. 3q3.

les pôles Â', B',. . . « des diverses tangentes MA, MB,. . . , on obtient une nouvelle courbe Â'B'C dont les tangentes N'A', N'B', . . . sont les polaires des points A, B, . . . , de la première. En effet, le point d'intersection des tangentes MA et MB a pour polaire (343) la corde A'B'; et lorsque B tend vers A, la corde A'B' et le point M, qui sont toujours polaire et pôle, tendent respectivement vers la tangente A'N' et vers le point A. Ainsi, on peut considérer la seconde courbe A'B'C comme obtenue, soit en prenant les pôles des tangentes, soit en prenant les polaires des points de la première courbe ABC. Dans la seconde manière d'opérer, la courbe A'B'C est définie par ses tangentes successives dont on dît qu'elle est V enveloppe. Inversement, si Ton cherchait les pôles des tangentes ou les polaires des points de la seconde figure, on retomberait sur la première.

Ces deux courbes sont dites polaires réciproques par rapport au cercle directeur 0. Le rayon du cercle directeur est d'ailleurs (341) moyen proportionnel entre les distances de son centre à un point quelconque de l'une des courbes et à la tangente correspondante de l'autre courbe* Ainsi, la polaire réciproque d'un cercle concentrique au cercle directeur est un autre cercle concentrique, et le rayon du cercle directeur est moyen proportionnel entre les rayons des deux autres cercles. En particulier, le cercle directeur est à lui -môme sa polaire réciproque. Lorsque le cercle considéré n'est pas concentrique au cercle directeur, sa polaire réciproque n'est plus un cercle, comme nous le montrerons plus tard.

349. Cela posé, voici en quoi consiste la méthode des polaires réciproques :

Une figure quelconque étant donnée, si Ton forme sa polaire réciproque par rapport à un cercle directeur, on obtiendra une nouvelle 6gure corrélative de la première, c'est-à-dire telle que ses points et ses droites seront respectivement remplacés par des droites et des points. Ainsi, à une série recttligne de points dans l'une des figures répondra dans Tautre un faisceau de droites, et réciproquement; à des points en ligne droite sur une courbe, répondront autant de tangentes issues d'un môme point et menées à la courbe correspondante ; le point d'intersection de plusieurs courbes sera remplacé par une tangente commune aux courbes correspondantes, etc.... Toute propriété descriptwe, c'est-à-dire n'ayant rapport qu'à la situation des lignes, indépendamment de toute condition de grandeur, conduira à une autre propriété de la figure polaire réciproque que l'on pourra énoncer immédiatement d'après ce qui précède, et qui sera par là même démontrée. 11 n'est pas même nécessaire de construire la figure; il suffit, pour passer d'un énoncé à l'autre, de changer les mots points et lignes en lignes et points.

C'est ainsi que l'un des deux théorèmes (326, 327) sur les triangles homologiques résulte de l'autre, que la propriété de l'hexagone circonscrit, due à Brianchon, résulte du théorème de Pascal sur l'hexagone inscrit (328, 329), etc. Toute conséquence de l'un de ces deux derniers théorèmes doit aussi conduire à une conséquence corrélative de l'autre; \oid quelques exemples :

Dans tout pentagone inscrit dans un cercle f le point de concours de la tangente menée par un sommet et du côté opposéy et les points de concours des autres côtés non con^ sécutifsf sont trois points en ligne droite.

Dans tout quadrilatère inscrit dans un cercle , si l'on mène des tan* gentes par deux sommets adjacents, le point de concours de chacune d^elii's opee le côté passant par le /joint de contact de l'autre, et le point de concours des deux autres côtés, sont trois points en ligne droite»

Dans tout f/uadritatère inscrit dans un cercle, les /mnts de con-

Dans tout pentagone circonscrit à un cercle, la droite qui joint un sommet au point de contact du côté opposé et les diagonales joignant les autres sommets non consécutijs sont trois droites qui se coupent au même point.

Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, si Von prend les points de contact de deux côtés ad' jacents et que l'on joigne le point de contact de chaque côté avec le sommet de l'autre côté, et les deux autres sommets opposés, on aura trois droites se coupant au même point.

Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, les deux diagonales

2;:b GÊOaiÉTRIE PLANS.

et les droites qw joignent les points de contact des côtés opposés, sont f/tiatre droites se coupant au même point.

Dans tout triangle circonscrit ù un cercle, les droites qui Joignent le point de contact de chaque côté avec le sommet opposé se coupent au même point.

cours des tangentes menées par les sommets opposés, et les points de concours îles côtés opposés, sont quatre points en ligne droite.

Dans tout triangle inscrit dans un cercle, les points de concours de chaque côté avec la tangente me^ née par le sommet opposé sont trois points en ligne droite.

Les théorèmes de la colonne de gauche sont des corollaires du théorème de Pascal ; ce théorème, étant en effet indépendant de la longueur des côtés de Thexagone inscrit, subsiste lorsque Ton remplace quelquesuns de ces côtés par des tangentes à la circonférence. Les théorèmes de la colonne de droite résultent de ceux de la colonne de gauche, d'après la théorie des polaires réciproques.

On peut aussi considérer les théorèmes de la colonne de droite comme des corollaires du théorème de Brianchon, dans lequel on suppose certains angles égaux à deux droits, et les théorèmes de la colonne de gauche comme résultant alors de ceux de la colonne de droite, d'après la théorie des polaires réciproques.

C'est surtout à propos des coniques qu'on pourra voir toute la fécondité de cette belle méthode des polaires réciproques, due au général Poncelet. Toutefois, il faut remarquer que cette théorie, si utile comme méthode d'invention, puisqu'elle permet, suivant la piquante expression de Gergonne, de faire en quelque sorte de la Géométrie en partie double, a, comme tous les procédés de transformation, l'inconvénient de laisser ignorer comment la proposition que l'on découvre se rattache à une théorie, et comment on pourrait s'y prendre pour la démontrer directement, a En général, comme le remarque M. Chasles, il ne suffît pas qu'une proposition soit vraie pour qu'on puisse en faire un usage utile en Mathématiques, il faut encore connaître toutes ses dépendances avec les diverses propositions qui se rattachent au môme sujet. »

350. Nous terminerons cet aperçu par quelques mots sur la transformation des propriétés métriques, c'est-à-dire des propriétés dans lesquelles on a égard non-seulement à la situation des lignes, mais encore à certaines relations numériques entre les angles ou les segments des diverses lijgnes de la figure.

D'abord, les propriétés métriques angulaires se transforment simplement par la théorie des polaires réciproques, au moyen du principe suivant :

L'angle de deux droites est égala l'angle des d/vites qui joignent leurs pôles au centre du cercle directeur, car ces deux angles ont les côtés respectivement perpendiculaires.

LITRB III. — LES FIGURES SEMBLABLES. aSj

Comme exemple , transformons cette proposition si connue : Dans tout triangle ABC, les hauteurs ka^ B^, Cr, se coupent au même point I.

Soient 0 le centre du cercle directeur, et Â'B'C le triangle polaire réciproque de ABC, A' étant lé pèle de BC, B' celui de CA et C celui de AB. Les trois hauteurs Aa, B&, Cr, se coupant au même point I, leurs pôles >9 ^f 7« doivent être sur une même droite, polaire de L Or, le pôle a de A a doit se trouver d'une part sur B'C polaire de A, et de Tautre sur la perpendiculaire menée par 0 à la droite OA', puisque, en vertu du principe énoncé plus haut, l'angle aOK' doit être droit comme l'angle XaB des polaires A a, BC, des points a et A'. On a donc ce théorème :

Si l'on joint un point fixe 0 pris arbitrairement dans le plan d*un triangle A'B'C aux trois sommets A', B', C, les perpendiculaires menées par ce point 0 aux trois droites OA', OB', OC', ainsi obtenues, vont couper respectivement les côtés opposés B'C, C'A', A'B', en trois points a, 6, 7, situés en ligne droite,

331. Quant aux relations segmentaires, on en transforme un assez grand nombre à Taide des deux principes suivants :

i^ Le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne droite dans une figure est égal au rapport anharmonique du faisceau des quatre droites correspondantes de la figure polaire réciproque, car ce faisceau et celui qu'on obtient en joignant les quatre points au centre du cercle directeur ont respectivement leurs angles égaux, d'après le principe du n*350.

AO a* Le rapport -^ des distances de deux points quelconques k et h au

AM centre 0 du cercle directeur est égal au rapport -^ des distances de

chacun de ces points à la polaire de Vautre (fig. 2^4). Car A'N étant la

Fie. )^4.

polaire de A et B'M celle de B, menons AC perpendiculaire sur OB et BD perpendiculaire sur OA ; nous aurons, en désignant par R le rayon du cercle directeur,

R'=OA.OA'=OB.OB', d'où Qg=§Jl-

aSS GfiOVÉTRIB PLANE.

Mais BD et AC étant antiparallèles par rapport à Tangle 0, on a

OA.OD = OC.OB, d*OÙ 7^7-7^ï^1

OAOC OB ""OD

par suite,

OA OB'-hOC CB' A^f OB "OA-hOD" DA' BN

35*2. On déduit, par exemple, bien simplement du premier principe que ie rapport anharmonique de quatre tangentes d'un cercle est égal au rapport anharmonique des quatre points de contact. Nous nous borne* rons à cette application ; mais on sentira aisément la portée de ce pre-

mier principe en remarquant qu*il sert à transformer le rapport ^ des

deux segments formés par trois points quelconques A, B, C, en ligne droite. En effet, Tintroduction du point situé à l'infini sur cette droite permet de considérer ce rapport comme égal au rapport anharmonique ( A, B, C, 00 ) ; si donc on désigne par A', B', C, les polaires des points A» B, C, par D' la polaire du point à l'infini, et par a, 6, y, ^, les points oti une transversale choisie à volonté rencontre le faisceau de ces quatre droites, on aura

353. Le second principe est dû à M. Salmon. En voici une application : ABCD étant un quadrilatère inscrit dans un cercle de centre 0 et de rayon R, et M étant un point quelconque de ce cercle, on a l'identité