SM.SN

2*" D'après cela, si Sm est une autre sécante issue du point S, on aura

SM.SN' = S/i.Sm';

donc (194) les points M et 'S'y n et m' sont sur une même circonférence 0\

3* Enfin, la corde M/i étant l'axe ra'dical des cercles 0 et 0", et la corde N'w' l'axe radical des cercles 0' et 0', le point d'intersection C des deux cordes est le centre radical (376) des trois cercles 0, 0', 0", c*est-à-dire un point de l'axe radical des cercles 0 et 0'. Cette dernièro propriété, prise à sa limite, prouve encore que les tangentes en deux points anti-homologues de deux cercles se coupent sur l'axe radical.

THÉORÈME

379. Quand deux cercles (A) et (B) sont touchés par un troisième (co), la droite qui joint les points de contact a et b pttsse par un centre de similitude l de {X) et de (B), et le pôle t de cette droite par rapport à (w) est situé sur l'axe radical L de (A) et de (B) [Jig. 238i].

En effet, puisque (362) a est un centre de similitude de (A) et ((o), et b un centre de similitude de (B) et (to). la droite a^ est (366) un axe de similitude des trois cercles (A), (B), (u)); elle passe donc par un des deux centres de similitude de ( A) et (B). D'autre part, les tangentes en a et en b étant (373) les axes radicaux de (A) et (eu) et de (B) et (<«>), leur point de rencontre /, c'est-à-dire (343) le pôle de ab par rapport à (u>) est le centre radical (376) des trois cercles (A), (B), ((o); il appartient donc à l'axe radical L de (A) et (B).

Celte proposition a deux réciproques.

1"* Si la droite ab, qui Joint deux points respectifs a et b des cercles (A) fff (B), p€use par un centre de similitude I de ces deux cer-

clesy le cercle (w) qui touche (A) cm point a et qui passe par le point b^ touche en ce point le cercle (B). — En effet, si le cercle (w) coupait (B) en un second point biy la droite l^i couperait les cercles ((o) et (A) en deux points distincts a et ai, et Ton aurait, en combinant les propriétés des sécantes (193) et celles des points antihomologucs (378),

1^1. la = lô.la = 1^1. 1^1,

c'est-à-dire I«i = la, ce qui est contraire à l'hypothèse.

a** Si la droite ab, qui joint deux points respectifs a et b des cercles {A) et {B)est telle, que le pobit de rencontre t des tangentes en a et en b à ces deux cercles appartienne à leur axe radical L, le cercle (a>) qui touche {X) au point a et qui passe par le point b,

Fig. 238,.

touche en ce point le cercle (B). — En effet, si la droite tb coupait le cercle (eu) en un second point bi, on aurait

tb.tbi =z ta = tb f c'est-à-dire tb = tbi, ce qui est contraire à l'hypothèse.

C0R0LL.4inE.

380. Si deux cercles (A) et (B) sont touchés respectivement en a et en b par un cercle (ta) et en a' et en b' par un cercle (ci>')i de façon que les contacts en b et en b' soient semblables ou dissemblables sui-

vant que les contacts en a et en a' sont eux-mêmes semblables ou dissembUtbles, le point de concours de deux côtés opposés quelconques du quadrilatère aba'b' evt à la fois un centre de similitude des deux cercles dont ces côtés sont des cordes et un point de Vaxe radical des deux autres cercles {Jig, 238 1).

En ofTet, si les contacts en a et en a' sont semblables^ aa' passe (366) par le centre de similitude externe de ((i>) et (a>'); mais, alors, les contacts en b et en b' étant aussi semblables par hypothèse, bb' passe par ce raéme centre de similitude; on verrait, par un raisonnement analogue, que, si les contacts en a et en a' sont dissemblables, les droites aa' et ^^' passent toutes deux parle centre de similitude interne de (co) et (ti)'). Dans les deux cas, le point de concours J de aa' et de bh' est donc un centre de similitude do (w) et (w'). Les points a ei a sont sur ces deux cercles des points anti-homologues, et il en est de même des points b et b\ On a dès lors

la,}a'^}b.lb\

et le point J, ayant même puissance par rapport à (A) et à (B), apparat lent à Taxe radical L de ces deux cercles.

D'ailleurs, de ce que les contacts en b et en b' sont semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en a et en /?', il résulte que les contacts en a* et en b' sont semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en a et en 6; et, par suite, un raisonnement identique au précédent prouve que le point de concours I de ab et de a'b' est un centre de similitude de (A) et (B) et appartient à Taxe radical de (cd) et (oi').