NOTIONS SUR L*INVOLUTION

381. On dit que plusieurs couples de points («,«')» ('^ ^')» •••» {m,m'\ ... situés sur une môme droite L forment une inçolution, lorsqu'on peut trouver sur la droite L un point 0, tel que Ton ait

Oa,Oa' ==: Ob.Ob' = Oc.Oc' = , , .^ K.

Là droite L est la base, 0 le point central, et la constante K la puissance de l'involution,

I* Deux couples de points {a^a'),{byb' ), déterminent une involution. En effet, si p est un point pris à volonté hors de la droite L, le point central 0 doit avoir la même puissance par rapport aux cercles circonscrits aux deux triangles paa\pbb'\ il appartient donc à Taxe radical do ces deux cercles et, par suite, il sera le point où cet axe coupe la droite L. Dès lors, q étant le second point d'intersection des deux cer-

des, le conjugué c' d'un point c de la droite L sera le second point commun à cette droite et au cercle circonscrit au triangle ^^^c.

La perpendiculaire élevée sur la base L par le point central 0 est Vojce radical commun des cercles décrits sur les segments aa'j hh\ cc\ comme diamètres.

2** On nomme point double d'une involution tout point u de la base L qui est son propre homologue. Pour qu'un tel point existe, il faut et il suffit qu'on ait

Donc il n'y a pas de points doubles si K est négatif; si K est positif, il jr a deux points doubles e et /situés sur la droite L, do part et

d'autre, du point central 0 à une môme distance égale à /K. D'après cela, l'involution peut offrir deux dispositions différentes. Si K est positif, comme on a (332, 333)

les points doubles e et /divisent harmoniquement chacun des segments aa\ bb'j ce', . . .; par suite, le point central n'est jamais compris entre deux points conjugués, tels que a et a\ et deux quelconques des segments aa\ bb\ cc\ ... sont, soit comme aa' et bb', d'un même côté do 0 et alors compris l'un dans l'autre, soit comme cm' et ce', de part et d'autre de 0 et alors extérieurs l'un à l'autre {Jig. 289 ). 0^ et 0/ sont égales à la longueur commune des tangentes menées par 0 aux divers cercles décrits sur aa\ bb', ce', . . . comme diamètres.

Fig. 239.

Si K est négatif, les produits Oa.Oa', Ob,Ob', Oc.Oc\ ... étant négatifs, tout couple de points conjugués est séparé par le point central 0 et deux quelconques des segments aa', bb', ce', . . . empiètent l'un sur l'autre {fig. 2391). Chacun des cercles décrits sur aa', bb\ ce', ... comme diamètres coupe l'axe radical commun aux deux mômes points P et P' symétriques par rapport à la base L et situés à une distance OP do cette base égale à la racine carrée des produits Oa,Oa\

Ob.Ob', Oc. Oc', . . ., c'est-à-dire égale à /— K. Une involution de ce

genre élant donnée par deux couples (a, a')^ (^)à') de points conjugués, c'est-à-dire par deux segments aa' et bb' empiétant l'un sur l'autre, les circonférences décrites sur aa' et bb' comme diamètres donneront le point P, par suite le point central 0, projection de P sur la base L, et il sufQra de faire pivoter un angle droit autour du sommet P pour avoir sur la base L tous les couples de points conjugués.

Fig. 339,.

V Pour que trois couples (a, a'), (^, b')^ (r, c') de po'uits en ligne droite forment une involution, il faut et il suffit que quatre de ces points (n'appartenant pas aux deux mômes couples) nient leur rapport an/iarmonique égal à celui de leurs conjugués.

La condition est nécessaire; car, si, dans le rapport anharmoniquc des quatre points a, by c, c\ on remplace le segment ca par sa valeur

ca^0a^0c=^-^,-^.

Oa'.Oc'

ot chacun des autres segments par la valeur analogue, on obtient le rapport anharmoniquc des points a\ b'y c\ c respectivement conjugués des premiers.

La condition est suffisante ; car, si elle est remplie, le rapport anharmonique {abcc') est égal à (n'b'cc). Mais, si l'on désigne par a le conjugué do a' dans l'involution déterminée par les deux couples (6, b')^ (r, c), le rapport anharmonique (rr^cr') doit, en vertu do la proposition directe, être aussi égal k (n'b'c'c), ce qui prouve que les points a et a divisent ce' dans le môme rapport et par suite coïncident.

4* Toute traiisverscUe L menée dans le plan d'un quadrilatère ABCE) rencontre les quatre côtés et les deux diagonales en six pouits a, n', b^ b', Cy c' formant une involution (fig, 2391 ).

Car les faisceaux (AB, AC, AD, Ac), (CB, CA, CD, Ce) ont le mémo rapport anharmonique, puisqu'ils coupent la diagonale BD aux mêmes

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points. Donc les rapports anharmoniques des deux systèmes de quatre points a^ c, b, c' et 6', c, a\ c' suivant lesquels la transversale L coupe ces deux faisceaux sont égaux; mais, au rapport (b\ c, a', c'), on peut substituer {a'c'b'c), et Ton voit ainsi que le rapport anharmonique des points a, c, b, c' est égal au rapport anharmonique do leurs conjugués a\ c\ b\ c, d'où l'on conclut que {a^a')^ {b,b'), {c,c') forment une involution.

5** Quand wi quadrilatère est inscrit dans un cercle^ toute transversale L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés opposés et le cercle en six points a^ a\ A, b\ ^^ formant une involw lion (fig. 239,). ^ i

Fig. aSg,.

En effet, les faisceaux (AB, AD, Ac, A/), (CB,CD, C<?,C/) ont les mêmes angles, puisque leurs sommets A et C sont sur la circonférence ot que leurs rayons se coupent deux à deux sur cette même ligne ; ils ont donc même rapport anharmonique et, par suite, si on les coupe par la transversale L, les deux systèmes de quatre points a, b, ^, / et //, û', e, /que l'on obtient ont même rapport anharmonique; donc, en échangeant, dans le dernier groupe, b' et «', e et/, on voit que le rapport anharmonique des points a, b, e, /est égal à celui de leurs conjugués a\ b\ /, e; par suite, les couples («,«')> (^) ^')j (^>/) forment une mvolution. — Ce théorème est dû à Desargues.

Tels sont les premiers principes de cette belle théorie do T involution, dont on trouvera l'entier développemrent dans notre seconde Partie.