FAISCEAUX DE CERCLES

382. Oa dit que plusieurs cercles A, B, C, ... forment un Jalfceau lorsqu'ils ont leurs centres sur une môme droite L et que les points a et a\ h et b\ c et c', ... suivant lesquels ils coupent cette droite forment une involution.

La base L, le point central 0 et la puissance K de Tinvolution reçoivent les noms de ba^e, point central et puissance du faiweau.

Le faisceau est dit du premier ou du second genre suivant que Tinvolution correspondante a des points doubles ou en est dépourvue, c'est-à-dire suivant que K est positif ou négatif.

1** n résulte de la théorie de l'involution qu'w/i faisceau de cercles est déterminé par deux quelconques d'entre eux, et que tous les cercles d 'un faisceau, pris deux à deux, ont le même axe radical. La réciproque de cette dernière proposition est vraie : si, plusieurs cercles A, B, C, . . .) pris deux à deux, ont un même axe radical R, iU forment un faisceau dont la base L est perpendiculaire à R ; car les centres sont évidemment distribués sur une même perpendiculaire L à Taxe radical R, et le point 0 commun à R et à L ayant mémo puissance par rapport à chacun des cercles, on a, en désignant par a et a\ b et b\ r oi c\ ... les points où ces cercles coupent la droite L,

a* Les points doubles ^ et /de Tinvolution relative à un faisceau do cercles du premier genre prennent le nom do points limites du faisceau ; voici pourquoi : puisque e Qi f divisent harmoniquement chacun des diamètres aa\ bh\ cc\ ... les milieux de ces diamètres, c'est-à-dire les centres des cercles A, B, C, ... sont tous en dehors du segment ef\ les deux parties indéfinies de la base L qui sont Tune à gauche de e, Tautrc à droite de /, sont les seules régions dans lesquelles puisse se trouver le centre d'un cercle quelconque du faisceau; d'ailleurs, tout point u> de ces régions est eiïeclivement le centre d'un cercle du faisceau; c'est le cercle Û qui a pour rayon la tangente ^t menée para) au cercle décrit sure/ comme diamètre. Le rayon 0/ du cercle ef étant en effet perpendiculaire à m/, est tangent au cercle û et, si oc et t! sont les points où ce cercle coupe L, on a

0«.Oa'=oV=r Ô^\

ce qui prouve que le cercle û fait partie du faisceau. Le rayon du cercle Û diminue à mesure que son centre ta se rapproche de l'un des points e et / et par suite ces poi/its limites peuvent ôtre considérés comme deux cercles évanouissants faisant partie du faisceau.

Dans un faisceau du second genre, tous les cercles passent par les deux points P et P'(381) de Taxe radical R; on a donné à ces points le nom de points fondamentaux. Ici, tout point ta do la base peut être le centre d'un cercle du faisceau; c'est le cercle û décrit de tu comme centre avec wP pour rayon.

3** On dit que deux faisceaux de cercles sont conjugués lorsque, le point central étant le même, les bases sont rectangulaires et les puissances égales et de signes contraires.

Il est clair qu* alors les points fondamentaux de l'un des faisceau.c coïncident avec les points limites de l'autre et que, réciproquement, si cette coïncidence a lieu, les deux faisceaux sont conjugués.

4"* On peut donner à l'expression de la puissance d'un point P par rapport à un cercle (A) une forme élégante et souvent commode, en faisant intervenir un cercle auxiliaire (G) astreint seulement à passer par le point P {^g. 2893).

En désignant par I le milieu de la ligne des centres AC, et par p la projection du point P sur cette ligne, on a (234)

PÂ'— PC* = 2AC.l/>.

Fig. a39,.

K ^ \ i«ô rp c y

Mais, si r est le rayon du cercle (A) et w le pied de Taxe radical L des deux cercles (A) et (C), on a (373)

r«— PC^=2AC.Iw.

En retranchant cette relation de la précédente, on obtient l'égalité

PÂ* — r«= 2AC.a>;>,

qui montre que la puissance d'un point P par rapport à un cercle (A ) est égale au double de la distance du centre (X) a/i centre (C) d'un cercle quelconque passant par P, multipliée par la distance du point P à l 'axe radical des deux cercles.

n résulte de là que, « (A), (B), (C), sont trois cercles d'un même faisceau, les puissances d'un point quelconque P du cercle (C) par rapport aux cercles (A) et (B) sont entre elles comme les produits AC.Pg, BC.P^, ou comme les distances du centre du cercle (C) aux centres dos cercles (A) et (B). Par suite, le lieu du point P dont les puissances par rapport à deux cercles fires (A.) et (B) ont im rapport donné est un cercle du faisceau déterminé par {k) et (B); et c'est, parmi lef cercles de ce faisceau, celui dont le centre C divise AB dwts le rapport donné'.

CERCLES ORTIIOGON.VIX.

383. I" Pour qu'un cercle (0) de rayon r soit coupé orthogonalement par un autre cercle (0'), il faut et il suffit que, de son centre. Oit puisse mener au cercle {0') une tangente égale à r,

La condition est nécessaire; car, M désignant un des points communs aux deux cercles dont les deux centres sont 0 et 0', la tangente en M au cercle (0') et le rayon OM se confondent comme étant perpendiculaires au môme point M à la tangente au cercle ( 0 ).

La condition est sufli santé ; car, soit OM la tangente menée du point O au cercle (C); puisque OM est égale à r, le point M appartient aussi nu cercle (0); d'ailleurs, la tangente en ce point au cercle (0) est perpendiculaire au rayon OM, c'est-à-dire à la tangente au cercle (0'>.

On peut encore énoncer le théorème de la manière suivante :

Pour qu'un cercle de rayon r soit coupé orthogonalement par un autre cercle, il faut et il suffit que la puissance de son centre par rapport à cet autre cercle soit égale à r*.

a* Il résulte de là : i* que le lieu des centres des cercles qui sont coupés orthogonalement par deux cercles donnés k et h est le lieu des points d'où Von peut mener fuix cercles A <?/ B des tangentes égales ; a* que si un cercle 0 est coupé orthogonalement par dciLV cercles A et B, il est coupé orthogonalement par tout cercle du faisceau déterminé par \etB; car, le cercle 0 ayant sou centre sur Taxe radical de A et de B, et cet axe étant commun à tous les cercles du faisceau, le centre en question aura, par rapport à tout cercle du faisceau, la môme puissance, laquelle est égale au carré du rayon du cercle 0, puisque co cercle est coupé orthogonalement par A et B. Pour plus do brièveté, nous dirons, d'un cercle qui est coupé orthogonalement par tous les cercles d'un faisceau, quMl est orthogonal au faisceau.

3* Tous les cercles Ai, B|, Ci, ... orthogonaux à un faisceau F dr cercles' A, B, C, ... forment le faisceau conjugué du premier.

En effet, le centre du cercle A ayant, par rapport à chacun des cercles orthogonaux, une môme puissance égale au carré de son rayon, appartient à l'axe radical do deux quelconques do ces cercles orthogonaux.

Comme il on est do mémo des contres dos cordes B, C, . . . , on voit que les cercles orthogonaux Ai, Bi, t,, ... ont pour axe radical commun Ri la baso L du faisceau F. Ces cercles orthogonaux forment donc un faisceau Fi. Ce faisceau Fi a pour baso L] Taxe radical R du faisceau F, puisque cet axe radical contient, comme nous Tavons vu, les centres de tous les cercles Ai, Bi, Ci, .... Les deux faisceaux F et Fi, étant tels que la base de Tun soit l'axe radical de l'autre et vice versa^ ont donc leurs bases rectangulaires et le môme point central 0, qui est Tintorsection de Li et de Ri aussi bien que de L et de R ; dès lors, il reste seulement à prouver que les puissances fx et (ii des deux faisceaux sont égales et de signe contraire. Or, si F est du premier genre, on a

e et /étant les deux points limites; mais le cercle {ef , c'est-à-dire le cercle décrit sur ef comme diamètre, coupe orthogonalement tout cercle Q du faisceau F, puisque (382) du centre o) du cercle £2, on peut mener au cercle (<?/) une tangente égale au rayon de û. Donc le cercle {ef) fait partie du faisceau Fi, et la puissance \k\ de ce faisceau, c'està-dire la puissance du point central w par rapport à (e/), est égale à

Si F est du second genre, on a

{1 = — œ =-Ôl>"\

P et P' étant les points fondamentaux; mais le cercle (PP'), c'est-à-dire le cercle décrit sur PP' comme diamètre, fait partie du faisceau F; il est donc coupé orthogonalement par tout cercle du faisceau Fi et, par

suite, le carré OP de son rayon est égal à la puissance do son centre 0 par rapport à tout cercle du faisceau Fi, c'est-à-dire à la puissance \>! de ce dernier faisceau ; on a donc

ji' = (5p' = — jji.

4** Soient 0, 0', 0" trois cercles n'ayant pas le môme axe radical. Si leur centre radical c est intérieur à l'un d'eux, il l'est aussi aux deux autres, et s'il est extérieur à l'un d'eux, il l'est aux deux autres. Dans le premier cas, il n'existe aucun point d'où l'on puisse mener aux trois cercles des tangentes égales et, par suite, aucun cercle ne saurait couper ces trois cercles orthogonalement. Dans le second cas, le centre radical c est le seul point d'où l'on puisse mener à ces trois .cercles des tan-

gentcs égales; le cercle ayant c pour centre et pour rayon la longueur commune des tangentes égales, est orthogonal aux trois cercles 0, O' et O", et c'est le seul cercle qui jouisse de cette propriété.

5** On dit qu'un cercle (0 ) est coupé diamétralement par un cercle (0') lorsque la corde commune à (0) et (0') est un diamètre du cercle (0).

On démontrera sans peine que, pour qu'un cercle (0) de rayon rsoit coupé diamétralement par un cercle (0'), U faut et il suffit que la puissance de son centre par rapport eut cercle (0') soit égale à — r*; il suit de là que si les deux cercles A et B n'ont aucun point commun, auquel cas leur axe radical leur est extérieur, il n'y a aucun cercle qui puisse être coupé diamétralement par chacun des cercles A et B ; tandis que si A et B se coupent, leur corde commune, c'est-à-dire la partie do leur axe radical qui est intérieure aux deux cercles, est le lieu du centre des cercles qui sont coupés diamétralement par A et B.

Lorsque le centre radical c de trois cercles 0, 0', 0" est intérieur aux trob cercles y il existe un cercle et un seul qui soit coupé diamétralement par chacun des trois cercles 0, 0', 0*. C'est le cercle qui a pour centre le centre radical c et pour rayon la moitié de la longueur commune des cordes minimum que l'on peut mener par ce point dans les trois cercles (374).