MN SM SM.SN MN

^™=sm:sn-^-

THÉORÈME

387. L angle de deux lignes quelconques qid se coupent est égal à Sangle des deux lignes inverses.

LIVRK m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 27 1

^Considérons d'abord {Jig. 240) une seule ligne quelconque MN et son inverse M'N'; il est aisé de voir que les angles TMM', TM'M, que leurs tangentes MT, M'T, font avec le rayon vecteur SMM', sont égaux; car, si Ton considère un rayon vecteur voisin SNN', les cordes MN et M' N' sont, comme nous l'avons déjà fait observer, antiparallèles par rapport à Tangle MSN; donc les angles SM'N', SNM, sont égaux; or, à la limite, le premier devient TangleSM'I, et l'autre, l'angle SMTi, opposé par le sommet à l'angle TMM'; donc, MM'T = TMM'. Pour éviter toute ambiguïté dans la manière de compter les angles, on peut remarquer que les deux tangentes correspondantes forment les deux côlés d'un triangle isocèle TMM', dont la base est la partie MM' du rayon vecteur comprise entre les deux points de contact.

Soient actuellement {Jig. 241) deux courbes Ma et MA qui se coupent en M, et les courbes inverses MV et M'A'; il faut prouver que l'angle dos deux premières, c'est-à-dire l'angle f MT de leurs tangentes, est égal à l'angle /M'T des deux autres. Or, on a, d'après l'alinéa précédent,

/MM'=/M'M, TMM'=TM'M, d'où, en retranchant,

/MM'— TMM' ou /MT = rM'M-TM'M ou /M'T.

Cette propriété de conserver les angles dont jouit ce modo de transformation des Ggures est très importante : elle entraine la similitude des triangles infiniment petits correspondants, de sorte que deux figures inverses l'une de l'autre sont deux figures semblables dont le rapport de similitude varie d'un lieu à un autre.

Les trois théorèmes précédents sont généraux, c'est-à-dire relatifs à des figures quelconques; les trois suivants sont particuliers et relatifs à la droite et au cercle.

THÉORÈME

388. Ln figure inverse d'une ligne droite est une circonférence passant par l'origine ,

Nous laissons de côté le cas où la droite donnée passe par l'origine. Dans cette hypothèse, cette droite elle-même est évidemment son inverse.

Considérons donc une droite AB ne passant pas par l'origine S {^fig. 242, li^). Menons du point S sur AB deux droites, TuneSP perpendiculaire, l'autre SM oblique à AB, et prenons respectivement sur ces lignes les inverses P' et M' des points P et M. IiOS droites MP et M' F étant antiparallèles (386), Tangle SM'F doit être droit comme l'angle SPM. Lo

lieu du point M' est donc la circonférence décrite sur SP' comme diamètre.

Réciproquement, la figure inverse d'une circonférence passant par ^origine est une droite perpendiculaire au diamètre qui aboutit à l'ori-

gi/te.

En effet, soient (fig. 242, 243) P l'inverse de l'extrémité P' du diamètre SP' et M l'inverse d'un point quelconque M' de la circonférence. Les droites MP et M'P' étant antiparallèles, l'angle SPM doit être droit

Fi{j. 343.

FÏQ. 243.

Di

comme son égal SM'P'. Le lieu du point M est donc la perpendiculairo élevée par P sur SP'.

SCOUE.

389. Les distances SP et SO de l'origine à la droite et au centre du cercle sont liées par la formule

2S0.SP=:|Jl,

où (JL est la puissance donnée. Cette relation a lieu en grandeur et en signe.

On voit par là qxïune droite ÀB et un cercle 0 situés d'une manière quelconque dans un plan (fig. 242, ^\^) peuvent toujours être considérés comme des figures inverses l'une de Vautre. 11 suffit de choisir pour origine S Tune des extrémités du diamètre perpendiculaire à la droite, c'est-à-dire (401) l'un des centres de similitude du système formé par la droite et le cercle, et pour puissance (ji la valeur en grandeur et en signe du double produit des distances de l'origine à la droite et au centre du cercle.

THÉORÈME

390. La figure inverse d'une circonférence y lorsqtie l'origine est intérieure ou extérieure à la courbe, est une circonférence.