LIVRE III

THÉORÈME

393. Les cercles inverses (A') et ((o') de iletix cercles tangents (A) ci {m) sont aussi tangents y puisque P inversion conserve les angles; (V ailleurs , les contacts entre (A') et (co') et entre (A) et {ta) sont semblables ou dissemblables, suivant qtie les puissances du centre d* inversion S par rapport aux deux cercles primitifs (A) et (a>) ont le même signe ou des signes opposés (fig. 24'ii). *

Pour lo prouver, prenons la constante d'inversion égale à la puissance de S par rapport à (A); ce cercle se transformera alors en luimême (390). Désignons par p et par m la puissance du point S par rapport à (A) et par rapport à (u>); par A, u>, o>\ les centres des cercles (A), (w), (w'); enfin, par a et a' les points où (A) est touche respectivement par (w) et par (w').

Lo contre S d'inversion élant à la fois sur la ligne des centres ww' et sur la droite an' qui joint deux points correspondants, le triangle Aww' coupé par la transversale Saa' donne

a A a'iù tju)

Mais, puisque Ton prend p pour constante d^inversion, on a

S(o' p Sw w

Donc, suivant que p et m auront le même signe ou des signes opposés, les doux premiers rapports de la rotation (i) seront de mémo signe

276 GÉOXÉTBIB PLANK.

OU de signes contraires. D'ailleurs, le contact en a est interne ou externe, suivant que le rapport — r est positif ou négatif; de même, le

contact en a' est interne ou externe, suivant que le rapport -r-, est positif ou négatif. Donc, les contacts en a et en a' seront semblables ou dissemblables, suivant que /? et ut seront do même signe ou do signes contraires.

39 i. Si l'on considère deux cercles quelconques et leurs inverses j en désignant par d, r, r', la distance des centres et les rayons des deux premiers cercles, et par 8, p, p', les éléments analogues pour les deux autres cercles, on a

II faut prendre le signe + ou le signe — suivant que les puissances de Torigine par rapport aux deux cercles primitifs sont de même signe ou de signes opposés.

En effet, soient S l'origine, 0 et 0' les centres des premiers cercles, (1) el tii' les centres des cercles inverses, A et a les projections de 0 et do (I) sur la droite SO'a>' i^Jîg, 2 {5). Désignons par jx la constante d'inversion, et par /?, /?'. w, w', les puissances de l'origine S par rapport aux cercles 0, 0', a>, to'.

Fig. 355.

Le triangle SOO' donne

rfî = SO* H- SÔ'* — 2 SA . SO', ou (372)

rfi ,.2 r'i=^p-^p'- aSA . se,

et Ton aurait de même

31 pi — p'' = w -4- m'.— tiSa.Sw'.

D'ailleurs (390, 391),

Sto' \k Sa __ Su) \k SO"'"^ ?' -SA ""SÔ "ô'

Par suite,

8i pï-.p'i= ^1 ^ !^-2^,SA.S0'= !^,(p-Hp'~2SA.S0'),