MÉTHODE DE TRANSFORMATION PAR RAYONS VECTEURS RÉCIPROQUES

396. La figure inverse d'une figure donnée prend aussi le nom de transformée par rayons vecteurs réciproques. Ce mode de transformation est un des moyens d'investigation les plus puissants dans Tétat actuel de la Géométrie. En construisant la figure inverse de celle qui répond à un théorème connu, on obtient des propositions nouvelles qui sont plus ou moins intéressantes, suivant le choix que l'on a fait do l'origine, et la nature de la figure primitive.

Voici quelques exemples :

i" Dans tout triangle rectiligne, la somme des angles est égale à deux angles droits. £n formant la figure inverse (388), on obtient un triangle formé par trois arcs de cercle qui se coupent tous à l'origine ; et, comme la transformation n'altère pas les angles, on a ce théorème : La somme des angles d'un triattgle curviligne , dont les côtés sont des arcs de cercle qui se croisent en un même points est égale à deux angles droits. On aurait un théorème analogue en transformant la proposition relative à la somme des angles d'un polygone.

'2** 11 est évident que si, dans un angle fixe, on inscrit deux cercles tangents entre eux, le lieu de leur point de contact est la bissectrice de l'angle. Donc, en formant la figure inverso, si, dans l'espace compris entre deux cercles qui se coupent, on inscrit deux circonférences tangentes entre elles, le lieu de leur point de contact est une autre circonférence.

397. Au lieu de chercher des propositions nouvelles en partant d'un théorème dont la démonstration est connue, comme nous l'avons fait dans les deux exemples précédents, on peut avoir à démontrer directement un théorème énoncé. On construit alors la figure inverse de celle qui répond au théorème proposé, en choisissant l'origine de façon que la nouvelle figure soit plus simple que la première, et que la propriété correspondante soit, sinon intuitive, au moins plus facile à prouver.

C'est ainsi que tout théorème ou tout problème sur un faisceau de cercles peut être ramené au cas beaucoup plus simple où le faisceau est composé soit de droites, soit de cercles concentriques (392). Par

exemple, ce procédé permettra de démontrer fort aisément la proposition suivante :

Lorsqu'un cercle variable touche toujours de la même manière deux cercles donnés, il coupe sous un angle constant tout cercle du faisceau déterminé par les deux cercles fi-xes.

Quand, dans une question, on a à considérer plusieurs cercles, il y a parfois avantage à choisir le centre d'inversion de façon que les transformés de deux de ces cercles soient égaux entre eux. La chose est possible d'une infinité de manières. En effet, soient 11 et Ri les rayons dos deux cercles considérés (A) et (B) et p le rayon de leurs inverses supposés égaux. On a (391), en désignant par ;ji la constante d'inversion et par p et pi les puissances du centre d'inversion par rapport à (A) et à (B),

P ^ If P. = i-^ K"// Ri p, et, par suite,

Pi " Ri'

Le centre d'inversion doit donc appartenir au lieu des points dont les puissances par rapport aux cercles (A)et(B) sont proportionnelles aux rayons R et Ri; et nous savons (382) que ce lieu est un cercle du faisceau déterminé par (A) et (B). On voit môme par là que l'on peut, en général f trouver un centre d'inversion tel, que trois cercles donnés se transforment en trois cercles égaux.

398. Les exemples que nous venons de traiter se rapportent à des

propriétés descriptives ou à des propriétés métriques angulaires. La

méthode se prête également à la transformation des propriétés métriques

de segments. On emploie à cet effet la formule du n*" 38G, dans laquelle

on peut d'ailleurs faire jjl = i. 11 suffit, d'après cola, pour transformer

une relation entre diverses distances AB, BG,. . ., de la figure primitive,

AB de remplacer chaque distance telle que AB par cT~cTî ' ^ ^^^^ lo point

pris pour origine. Voici un exemple :

Étant donnée sur une droite une série de points se succédant dans Tordre A, B, G,. . ., H, K, on a évidemment

AK = AB -+- BG H- . . . f- HK.

La figure inverse offre une série de points se succédant dans l'ordre S, A, B, G, . . ., H, K, sur un cercle passant par l'origine S, et l'on a entre les distances de ces points la relation