AK AB BG HK

SA.SK SA. SB SB.SG Sll.SK

28o GÉOMÉTRIE PLANE.

Si les points ne sont qu'au nombre de trois, A, B, C, on a

^^ ^^ ®^- ou AC.SB = AB.SG-f-BC.SA,

SA. se SA. SB SB. se

et l'on retombe sur le théorème de Ptolémôe (2i0) relatif au produit des diagonales du quadrilatère inscrit.

La méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques, pro* posée par M. Stubbs {Philosophical Magazine, i843), appliquée ensuite par M. William Thomson sous le nom de principe des images, a été l'objet d'un Mémoire de M. Liouville, qui en a donné une théorie analytique complète {Journal de Mathématiques, i** série, t. XII). Depuis lors, la méthode a reçu un très grand nombre d'applications ; nous en trouverons dans le paragraphe suivant des exemples variés, mais nous devons signaler ici l'une des plus élégantes, due à M. Casey, et qui concerne la recherche de la condition pour que quatre cercles soient tangents à un cinquième,

399. A et B étant deux cercles quelconques, convenons de désigner par (AB) la longueur de leur tangente commune. Ce sera, suivant les circonstances, la tangente extérieure ou la tangente intérieure ; mais, dans tous les cas, il faudra attribuer à cette locution le sens indiqué au n"" 395. Ceci entendu, le théorème de M'. Casey s'énonce de cette manière :

Lorsque quatre cercles A, B, C, D, sont tangents à un cinquième cercle E, les longueurs de leurs tangentes communes satisfont à la relation

(i) (AB)(CD)±(AC)(BD)±(AD)(BC) = o.

Pour démontrer cette proposition, supposons, par exemple, que, des quatre cercles A, B, G, D, touchés par le cercle E, le premier A soit contenu dans E, et que les trois autres soient extérieurs à ce cercle. Convenons, en outre, de compléter la notation (AB), en affectant la parenthèse de l'indice o ou i , suivant qu'on voudra désigner la tangente commune extérieure ou intérieure. Ainsi, (AB)o sera la tangente commune extérieure aux cercles A et B, et(AB)i sera la tangente commune intérieure.

Construisons la figure inverse dii système, en prenant pour origine S un point quelconque du cercle E {Jtg. a46). Le cercle E deviendra une droite e qui touchera les cercles a, p, y, §, inverses des cercles A, B, C, D, et qui laissera d'un côté le cercle a, et, de l'autre, les cercles p, Y, $. Or, en désignant par oc, p, y, 8, les points de contact de la droite e avec ces mômes cercles, on a, entre les segments compris

entre ces quatre points, la relation suivante, facile à vérifier :

En la divisant par le produit pp'p'p"' dos rayons des quatre cercles a, P, Y, 8, et en adoptant la notation indiquée précédemment, on en déduit

(«?)i (yo)o (aY)i Oi)o (a5)i LPï^o PP' "

PP

Cette relation, en vertu du principe établi au n" 395, revient à (ABh (CD)o (AC)t (BD), , (AD^, (BC)o