RR' R' R

/ uni

R, R', R', R", étant les rayons des cercles A, B, C, D.

Fig. -ifyCi,

La suppression du facteur commun RR'R'R'^' donne finalement régalité

( AB)i (CD)o- (AC)i (BD)o-+- (AD)i (BC)o= o,

qui rentre bien dans le type (i).

VIL — Quelques problèmes remarquables.

PROBLÈME d'aPOLLOMUS : CERCLE TANGENT A TROIS CERCLES DONNÉS.

400. Suppospns le problème résolu, et soit (ui) un cercle tangent à trois cercles donnés (A), (B), (G), dont nous désignerons le contre radical par S (7%^. 247).

Si Ton fail l'inversion de la figure en prenant pour centre d'inversion le point S et pour coefficient d'inversion la puissance de S par rapport à chacun des cercles (A), (B), (C), chacun de ces trois cercles se transformera en lui-môme, et le cercle (co'), inverse de (o>), sera un second cercle langent à (A), (B), (G); les points de contact a', b\ c\ de(ai') avec (A), (B), (C), sont d'ailleurs situés sur les droites Sa, S^, Sr, qui joignent le point S aux points de contact de (^w) avec (A), (B), (G).

Les puissances de S par rapport à (A) et (a>) étant les mômes que celles do S par rapport à (B) et (a>), il résulte du n* 393 que les contacts en b et en ù' sont semblables ou dissemblables, en môme temps que les contacts en a et en «'; par suite, les couples de cercles (A) et (B), (w) et (u)'), satisfont aux conditions du n* 380. S e^t donc un centre de similitude de (u)) et (ta'), et le point de concours G' de ab et de a'b' est h la fois un centre de similitude de {k) et {B) et un point de l'axe radical de (w) et (ci)'). Do môme, le point do concours B' de ac et do a'c' est un centre de similitude de (A) et (G) et un point do l'axe radical de (a>) et (to'). Par suite, l'axe radical de {tu) et {(a') est un axe de similitude G'B'A' des trois cercles {X)^ (B), (G).

Il résulte de là que les centres o) et cj' des deux cercles associés (a> ) et {(s)') sont situés sur la perpendiculaire abaissée de S sur A'B'C'; car la droite tocu' doit passer par le centre de similitude S de (cd ) et (oi') et ôtre perpendiculaire à l'axe radical A'B' G' de ces deux cercles.

Enfin, les points a et a' des cercles (w) et (co') étant anti-homo logucs, les tangentes on a et en a' doivent se couper sur Taxe radical

A'B'C de ces deux cercles (378); en d'autres termes, A'B'C doit contenir le pôle de aà par rapport au cercle (A) et, inversement (343), la corde aa! doit contenir le pôle p de A'B'C par rapport au cercle (A).

On est ainsi conduit à cette conclusion :

«$*x7 existe un cercle (a*) tangent à trois cercles donnés (A), (B), (C), il en existera un second (w'); ces deux cercles associés {w) et { w') toucheront respectivement le cercle (A) aux points a et «', où ce cercle est rencontré par la droite Sp qui Joint le centre radical S des cercles donnés au pôle p par rapport à (A) de l'un des axes de similitude des 'meniez cercles; les centres w et ta' seront les points oà les droites qui joignent le centre A aux points a et a' rencontrent la perpendiculaire SZ abaissée de S sur l'axe de similitude considéré.

Comme il y a quatre axes de similitude (366) des trois cercles (A), (B), (C), on voit que le nombre des couples de cercles tangents à trois cercles donnes est au plus égal à quatre.

Pour qu'un tel couple existe, il faut évidemment, d'après ce qui précède, que la droite Sp qui répond à Taxe de similitude considéré coupe le cercle (A). Cette condition est d'ailleurs suffisante. En d*autrcs termes : Si la droite Sp coupe (A) en deux points a et a' et si cj et eu' sont les points oà A a et A a' rencontrent SZ, les cercles (to) et {(»)') décrits, Vtm du point w comme centre avec wa pour rajon, l'autre du point w' comme centre avec tu 'a' pour rayon, toucheront l'un et l'autre les trois cercles donnés (A), (B), (C).

£n effet :

D'abord, le cercle (a>) touche (A) au point a, puisque ce point est commun aux deux cercles (ai) et (A) et se trouve situé sur la ligne des centres wA. Do miMne, le cercle (w') touche (A) au point a'. Il reste k prouver que (w) cl (a>') touchent l'un et l'autre (B) et (C).

Or, désignons {^Jig* '2*71) par b et b' les points de (B) qui sont antihomologues do a et a* par rapport au centre de similitude C. Il existe (379) un cercle (X) touchant (A) et (B) en a et en ^, ainsi qu'un cercle (X') touchant (A) et (B) en a' et en b'\ le contre X du premier cercle es( à la rencontre de Aa et do B^, et le centre X' du second est à la rencontre de Aa' et do B6'. Si C est un centre de similitude directe de (A) et (B), les contacts en a et 6 seront semblables, ainsi que les contacts en a' et b'\ si, au contraire, Q! est un centre de similitude inverse, les contacts en a et b seront dissemblables, ainsi que les contacts en a' et b' (366). Les contacts en a et b' sont donc semblables ou dissemblables, en môme temps que les contacts en a et b. Par suite, les cercles (X) et (X') et les cercles (A) et (B) satisfont aux conditions du n** 380, et l'on peut énoncer les conclusions suivantes : I* l'intersection do an' et do bb' appartient à Taxe radical do (A) et (B) et, comme fin coupe cet axe radical en S, la droite bb' passe par S;

2** le point S est un centre de similitude de (X) et (X') et, par suite, les trois points X, X' et S sont en ligne droite; 3° le point C appartient à l'dxe radical de (X) et (X') et, comme le pôle Ai de acî par rapport à (A) est sur cet axe radical et que, d'autre part, ce pôle doit appartenir à la polaire A'B'C du point p situé sur ««', on voit que A'B'C contient deux points de Taxe radical de (X) et (X') et se confond avec cet axe : il en résulte que la ligne des centres XX' est perpendiculaire à A'B'C. Les points X et X' étant sur SZ, aux intersections de cette droite avec A^z et A a', coïncident avec les centres co et eu', de sorte que les cercles (w) et (eu'), coïncidant eux-mômes avec les cercles (X) et (X'), touchent le cercle (B). Un raisonnement analogue prouverait que (w) et (w' ) touchent aussi (C).

Remarquons, en terminant, que, dans la règle énoncée ci-dessus, on peut substituer le cercle (B) ou le cercle (G) au cercle (A). Par conséquent, si l'on désigne (y%. 247) par /), q, r, les pôles par rapport à (A), (B), (C), d'un même axe de similitude, les droites Sjd, S^, Sr, couperont respectivement les cercles (A), (B), (C), dès que l'une de ces droites coupera le cercle correspondant.

Cette belle solution appartient à Gergonne. Nous en avons toutefois modifié l'exposition, de manière à ne laisser subsister aucune ambiguïté sur la façon d'associer les points de contact, ni aucune hypothèse arbitraire sur l'existence des cercles tangents, existence que Gergonne admet a priori,

401. Pour pouvoir appliquer la solution qui précède aux cas particuliers que l'énoncé du problème comporte, il faut savoir ce que deviennent les éléments que nous avons appelés pôle, polaire, axe radical, centre de similitude, lorsque^ dans une figure qui renferme des cercles»

un OU plusieurs de ces cercles se réduisent à des points ou à des droites parce que leurs rayons deviennent nuls ou infinis. La connaissance de ces résultats^ que nous allons exposer très rapidement, est d'ailleurs indispensable pour la discussion d'un grand nombre de problèmes.

i^ La polaire L d'un point ? par rapport à un point 0 (cercle de rayon nul) est la perpendiculaire à OP menée par 0.

a* Le pôle P d'une droite L par rapport à un point 0 est le point 0 lui-meyne.

Ces deux principes résultent do ce que le produit des distances du point 0 au pôle P et à la polaire L doit être nul (3 il ).

3" La polaire d'un point P par rapport à une droite m (cercle de rayon infini) est la parallèle à tu menée par le symétrique du point P par rapport à la droite w.

Car le cercle dégénère en réalité en deux droites parallèles qui sont la droite tu et une droite rejetée à l'infini. Or, si Ton mène par P une sécante quelconque qui rencontre en o et en / les droites o) et L, le système P, o, /, 00, sera harmonique, ce qui exige que o soit le milieu de /P; donc, la polaire L est le lieu des points obtenus en prolongeant les sécantes menées de P à co de longueurs égales à elles-mêmes.

4" Le pôle P d'une droite L par rapport à une droite (o est le point à l'infini sur a>.

Car les polaires de tous les points de L sont (3"*) parallèles à ci>; leur point do concours, c'est-à-dire le pôle de L, est donc à l'infini sur a>.

5* Les centres de similitude 0 et 0' d'un cercle C et d'un point C se confondent avec le poi/tt C.

Cela résulte des formules du n** 260, dans lesquelles on fait R'= o: on trouve ainsi

CO =- CO' = ce.

6* Les centres de similitude 0 et 0' de deux points C et C n'ont des positions déterminées qu'autant que l'on donne la loi suivant laquelle les rayons R et R' des deux cercles correspondants tendent vers zéro. Par exemple, si, lorsque R et R' tondent vers zéro, le rapport de R' à R reste égal à un nombre donné m, les formules du n° 260 donnent

CO=--^i- et C0'= ^- .

7* Les centres de similitude d'un cercle et d'une droite sont les extré» mités du diamètre perpendiculaire à la droite.

En effet, supposons, dans la fig. i8a, que le point d'intersection de franche E' de la circonférence C avec CC reste fixe, et que le centre C de cette circonférence s'éloigne indéfiniment dans la direction CC, de

a86 GÉ0M6TRIB PLANE.

manière que cette circonférence devienne la perpendiculaire élevée à CE' Par E'. Les formules