CE'+R' . ^^, CE'-4-R

donneront, pour R'= «,

CO=-R et CO'=R.

Le centre do similitude externe devient donc Textrémité de gaucho du diamètre du cercle C perpendiculaire à la droite donnée, et le centre de similitude interne devient l'extrémité de droite do ce diamètre.

S'^ Les centres de similitude d'un point et d'une droite se confondent avec ce point.

Car, si dans les formules ci-dessus on fait R = o en même temps que R'= 00, on trouve

C0 = o et C0'=o.

9° Les centres de similitude de deux droites D et D' sont les points à l' infini situés sur les bissectrices de l'angle des deu-x droites et de son supplément.

Ce fait résulte de cette propriété évidente et'caractéristique des centres de similitude de deux cercles : Toute droite menée par un centre de similitude coupe les deux cercles sous le même angle.

lo" L'axe radical d'un cercle et d'un point est équidistant de ce point et de sa po 'aire par rapport au cercle.

Ce fait résulte du n" 37.*) et des remarques précédentes (i" et 5").

1 1° L'axe radical de deux points est la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui les Joint.

i'2* L'a.ce radical d'un cercle et d'une droite est la droite ellemême.

C'est une conséquence immédiate du n** 383 et des remarques précédentes (S'' et 7").

i3** L'axe radical d'un point et d'une droite est la droite ellemême.

1 4" L'axe radical de deux droites est indéterminé.

Le problème du cercle tangent à trois cercles donnés comprend dix cas, y compris le cas général. En représentant un cercle par C, une droite par D, un point par P, on peut indiquer ces dix problèmes par les symboles PPP, PPD, PPC, PDD, PDC, PCC, DDD, DDC, DCC, CCC.

Les quatre cas PPP, PPD, PDD, DDD, où il ne figure aucun cercle parmi les données, échappent à la méthode; mais leur solution directe n'offre aucune difficulté, comme nous l'avons vu aux n*^ 15 i, 160^ 26â

et 263. Tous les aatres cas ae déduisent sans peine de la solution générale, à l'aide des résultats indiqués dans le numéro précédent. Nous nous bornerons aux indications suivantes.

DCC — Il y a 6 contres de similitude, par suite, 4 axes de similitude et 8 solutions.

DDC. — Il y a encore 4 axes de similitude et 8 solutions.

PCC. — Il n'y a que 2 axes de similitude et, par suite, 4 solutions.

PDG. — Il n'y a que 2 axes do similitude et 4 solutions.

PPC. — Il n'y a que i axe de similitude et, par suite, 2 solutions.

402. Il importe do signaler encore, à propos du problème d'Apollonius, quelques relations remarquables qui résultent immédiatement du théorème de M. Casey (399).

i"En supposant que le cercle D se réduise à son point do contact, et en désignant par /, /', l\ les longueurs des tangentes menées do ce point aux trois cercles A, B, C, on voit que, si un cercle E touche trois cercles donnés, A, B, G, les ta/igentes menées d'un point quelconque de ce cercle aux trois cercles donnés sat'isfont à la relation

/'(AB) i^- /'( AG) ±. /(BC) = o.

2" Enfm, si l'on se reporte à la figure formée par un triangle quelconque, le cercle inscrit D et les trois cercles exinscrits A, B, G, et si Ton applique le théorème de M. Gasey à ces quatre cercles considérés successivement comme tangents aux trois côtés du triangle, on obtient les trois relations

— (AB)i(GD)o-+-(AG),(BD)o-(AD)i(BG)o=o,

(AB),(GD)a-h (AG)o(BD)i - (AD)o(BG)i - o,

~(AB)o(GD),-(AG),(BD)o-+-(AD)o(BG),-ro,

qui, ajoutées membre à membre, donnent

(AB)o(GD),-(AG)o(BD),-+-(AD)i(BG)o - o.

Ije cercle inscrit et les trois cercles exinscrits à un triangle quelconque sont donc tattgents à un cinquième cercle, qui laisse le cercle inscrit d'un côté et les trois cercles exinscrits île l'autre côté,

[Go théorème est dû à Feuerbach : nous le retrouverons plus loin .404).]

Le mémo procédé conduit dailleurs à ce théorème plus général dû à M. Ilarl :

Les cercles tangents à trois cercles donnés sont, quatre à quatre, tangentt à un cinquième cercle.