CERCLE COUPANT TROIS CERCLES DONNES SOUS DES ANGLES DONNÉS

403. Nous traiterons d'abord quelques cas particuliers qui sont d'ailleurs intéressants par eux-mêmes, et dont nous emprunterons la solution à M. G. Tarry.

(a) Décrire une circonférence (X) coupant respectivement deux droites RA et RB sous des angles a et p, et passant par un point A pris sur la droite RA {fig, 24 7ï)'

Supposons le problème résolu, et soit B l'un des points d'intersection de la circonférence (X) avec la droite RB. Par hypothèse, la tangente en A à la circonférence (X) fait avec la droite RA un angle égal

F»C- Air

à a ou à son supplément; par suite, le rayon AX fait avec RA un angle

TT

égal à a ou à son supplément. De même X6 fait avec RB un angle

égala - — p ou à son supplément. Les rayons XA et XB étant égaux, le point B s'obtiendra par le tracé suivant : par un point quelconque X' de la droite AX, qui fait avec RA un angle égal à -^ — a ou là son

supplément, menez la droite qui fait avec RB un angle égal à p

ou à son supplément ; prenez sur cette droite une longueur X'B' égale à X' A ; la droite AB' coupe RB au point cherché. Le problème a quatre solutions.

{h) Décrire une circonférence Ç^) qui coupe respectivement deux droites données RA e/ RB et une circonférence donnée (C) sous trois angles donnés a, ?, y {,fig> Mit)-

Cherchons le centre X. Soit D l'un des points d'intersection des circonférences (X) et (C). Par hypothèse, l'angle XDC est égal à y ou à

son supplément, et les angles XAR, XBR, sont égaux à - — a, - — p, OU à leurs suppléments. Or, les circonférences qui coupent RÂ et RB

sous les angles a, p, sont homothétiques et ont pour centre

d'homothétie le point R. On connaîtra donc la position de la droite RX et la valeur du rapport vT ~ xn *

Sur 1j cot6 XR, considéré comme homologue de XD, construisons le

triangle XRC, directement ou inversement semblable au triangle XDC.

On connaît Tangle XRC et la longueur RC déterminée par la propor-

RC XR lion -rr^ = vTî' ^° P®^^ ^^^^ trouver le point C D'ailleurs, la simili-

XC XR lude des triangles XRC, XDC, donne la relation xr ~ XD' ^^^ ^^'

séquent, le point X, situé sur la droite connue RX, appartient aussi à la circonférence, lieu des points dont les distances à G' et à C sont dans le rapport de XR à XD. Le problème comporte huit solutions.

(c) Connaissant deux circonférences {X) et (3) et un point D pris sur (A), construire une circonférence (X) qui passe par D et qui coupe (A) et (B) sous des angles donnés a et ^ (Jig. 2473).

Supposons le problème résolu, et soit £ l'un des points communs aux cercles (X) et (B). Par hypothèse, les angles XDA, XEB, sont égaux aux angles a et ^ ou à leurs suppléments. Sur le côté XD, égal

Fig. a47,.

à XE, construisons le triangle XDB' symétriquement ou directement égal au triangle XEB. On connaît les angles ADX, XDB', et, par suite, la position de la droite DB' et celle du point B'. Le contre X est donc déterminé, puisqu'il est situé sur la droite connue DX et équidistant des points B cl B'. Il y a quatre solutions.

(d) Décrire une circonférence {\) qui coupe respectivement deux virconfercmes concentriques (A) er (B) et une circonférence quelconque (C ) sous des angles donnés a, p, y»

R. et DE C. — Tr, de Géom. (l" Parlîo). 19

Décrivons une circonférence qui coupe respectivement (A) et (B) sous les angles a et p. L*une des circonférences cherchées sera égale à cette circonférence et coupera (C) sous Fangle y. Or, le lieu des centres des circonférences égales qui coupent sous un même angle un cercle donné se compose de deux circonférences concentriques. Les centres des cercles cherchés se trouvent donc à la rencontre de circonférences que Ton sait construire. Le problème comporte huit solutions.

(e) Nous pouvons maintenant passer au problème général :

Décrire une circonférence (X) qui coupe respectivement trois cercles donnés (A), (B), (C), sous des angles donnés a, P, f •

Si deux des cercles donnés, (A) et (B), se coupent, on formera la

figure inverse en prenant pour contre d'inversion l'un des points d'intersection 0 et pour coefEcient d'inversion la puissance de ce point par rapport au cercle (C). Ce cercle ne changera pas, les cercles (A) et (B) se transformeront en deux droites et, comme l'inversion n'altèrb pas les angles, on sera ramené au problème (b).

Si les circonférences (A), (B), (G), considérées deux à deux, n'ont aucun point commun, on pourra (392) former la figure inverse de fa« çon que deux des cercles donnés se transforment en deux circonférences concentriques, et le problème sera ainsi ramené au problème {d).