CERCLE DES NEUF POINTS

404. ABC étant un triangle quelconque, désignons par (M) le cercle qui a pour rayon la moitié du rayon du cercle circonscrit et pour centre le milieu M de la droite qui joint le centre 0 du cercle circonscrit au point de concours H des hauteurs (Jig. a47^)«

Le cercle (M) passe par les milieux a^ b, c, des côtés, par les pieds a, p, Y> des li auteurs, et par les milieux p, q, r des distances du point de concours H des hauteurs aur trois sommets A, B, C.

En effet : ,

1° La droite M^, joignant les milieux M et p des côtés HO et HA du triangle OHA, est parallèle à la base OA et égale à la moitié do cette base, c'est-à-dire à la moitié du rayon du cercle circonscrit. Le cercle (M) passe donc par/?, et l'on verrait de même qu'il passe par q et r.

2" On a vu (117) que les hauteurs du triangle ABC étaient les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un second triangle A'B'C\ obtenu en menant par chaque sommet du premier la parallèle au côté opposé. Les triangles A'B'C et ABC étant semblables et ayant 2 pour rapport de similitude, la droite AH considérée comme liée au triangle A'BX' est double de la droite Oa qui est son homologue par rapport au triangle

ABC. Les droites Oa et Kp sont donc égales et, comme elles sont parallèles, pa est égale et parallèle à OA. Par suite, pa n'est donc autre

chose que /^M prolongée d'une quantité M^z égale à /^M, et le cercle (M ) passe par a. On verrait de même qu'il passe par b et c,

V^ Enfin, puisque pa est un diamètre du cercle (M) et que l'angle paa est droit, le cercle (M) passe par a. On [verrait de môme qu'il passe par ^ et y-

Cette propriété, qui a fait donner au cercle (M) le nom de cercle des neuf points, est due à Eulor.

On peut aisément trouver les tangentes aux neuf points,

La tangente aE au point a est perpendiculaire au rayon M^ ou à sa parallèle OA : elle est donc parallèle à la tangente AT au cercle circonscrit; mais cette tangente est anliparallèle à BC par rapport à Tangle BAC, puisque les angles TAB, ACB, ont la même mesure. Par conséquent, la tangente aE au cercle des neuf points au point a est anliparallèle à BC par rapport à V angle BAC.

Au point /?, la tangente est parallèle à aE et, au point a, la tangente fait avec la direction CB un angle EaB égal à l'angle EaC que la tangente en a forme avec la direction BC. On connaît ainsi les droites qui touchent le cercle (M) aux neuf points ^, h, c, /?, ^, r, a, p, y.

Parmi les nombreuses propriétés dont jouit le cercle (M), il importe do remarquer la suivante, due à Feuerbach :

Le cercle des neuf points est tangent au cercle inscrit et à chacun des cercles exinscrits au triangle ABC (Jig, 2475)'

En effet, soient I le contre du cercle inscrit et V le centre de l'un dos cercles oxinscrits, par exemple de celui qui est compris dans l'angle CAB.

Le côté BC est une tangente commune intérieure aux doux cercles I et r, et son milieu a est aussi le milieu de Fintervalle FF' compris entre

Fig. 247,.

ses deux points de contact ; car, eu désignant par a, b^ r, les côtés du triangle ABC et par/? son demi-périmètre, on a (161 )

et, par suite,

BF = /? — h, W = p — c

- (BF H- BF') = - (2p - ^ - c) = - = Ba.

La seconde tangente commune intérieure KR' passe par le point A' où la première rencontre la bissectrice AH' do l'angle BAC ; elle est d'ailleurs symétrique de BC par rapport à cette bissectrice, c'est-à-dire antiparallèle à BC par rapport à l'angle BAC.

Remarquons enfin que les quatre points I, I', A, A', étant harmoniques, leurs projections sur BC forment aussi un système harmonique FF'aA', de sorte qu'on a

«F = ûF = aoL,aA',

Ceci posé, formons la figure inverse des cercles I, F, et du cercle des neuf points, en prenant pour origine le point a et pour constante d'in-

version la quantité a F . Cette quantité étant égale à la puissance du point a par rapport à Tun ou l'autre dos cercles I et I', chacun de ces cercles coïncidera avec son inverse. Quant au cercle des neuf points, puisqu'il passe par Torigine a, il aura pour inverse une droite. Cette droite passera par A', puisqu'on vertu de l'égalité (i) le point A' est l'inverse de a; elle devra en outre faire avec la direction BC un angle égal à celui que la tangente en a au cercle des neuf points fait avec cette même direction. En d'autres lermes, la droite inverse du cercle des neuf points sera la droite menée par A', antiparallèloment à BC par

rapport à l'angle BAC, c'est-à-dire la seconde tangente commune intérieure KK' aux deux cercles I et T. Dans la figure primitive, le cercle des neuf points touche donc les cercles I et F; et l'on verrait de môme que ce cercle touche les deux autres cercles exinscrits.

INVERSEURS DE PEAUCELLIER ET DE HART (^. 2476) 2477).

-405. Soit ABGD un losange articulé, c'est-à-dire formé de tiges rigides reliées à leurs extrémités de façon que leurs inclinaisons mutuelles puissent varier ; soient de plus OB et OD deux autres tiges, égales entre elles et articulées en 0, B, D. Tel est le système à six tiges de M. Peaucellier ; on lui donne le nom d'ûiçerseur, parce que, lorsque l'on déforme le système, le point 0 restant fixe y les points A et C décrivent des lignes inverses, 0 étant le centre d'inversion. En effet, pour toute position de l'appareil, puisque chacun des points 0, A, C reste à égales distances des points B et D, les trois points 0, A, G sont en ligne droite ; d'ailleurs, si l'on imagine le cercle ayant B pour contre et BA pour rayon, puisque la distance OB et le rayon BA restent constants, la

puissance OB — BA du point Gxe 0 par rapport à ce cercle mobile reste aussi constante; mais cette puissance s'exprime aussi par le produit OA.OC ; donc A et C décrivent des lignes inverses l'une do l'autre. D'après cela, si l'on fait décrire au point C un cercle quelconque, le point A décrira aussi un cercle. Mais si le cercle que l'on fait décrire au point C passe par le point fixe 0, le point A décrira une ligne droite. C'est la première solution rigoureuse qu'on ait donnée du problème de Watt, c'est-à-dire de la transformation d'un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne. Depuis, M. Hart a résolu le même problème à

l'aide de quatre tiges seulement; ces tiges forment les côtés égaux CCt, DDi, et les diagonales CDi et CiD d'un trapèze isocèle articulé. Soient A, Pj, P trois points divisant respectivement les tiges CCi, CfD et CDi dans un même rapport; si le système se déforme, A restant fixe, les points P et Pi décrivent des lignes inverses, A étant le centre d'inversion. En effet, il est clair que, dans toute position du système, les couples CD et C|Di, AP| et CD, AP et CiD| conservent leur parai-

294 GÉOMÉTRIE PLANF.

lélismc, en sorte que A, Pi et P restent en ligne droite. On a d'ailleurs

d'où

AP CiDi~-

CA CCi'

APi CD

C,A ■"CCi