ÀPPLICATIOKS DB LA MÉTHODE

413. Soient (^. a496) trois cycles K, K' et K' ayant respectivement pour centres les points 0, 0' et 0*. Soient P' le centre de similitude des cycles 0 et 0', F le centre de similitude des cycles 0 et 0'. Supposons que la droite FP* ne coupe pas le centre 0; en prenant cette droite pour axe de transformation, nous pourrons toujours, en choisissant convenablement le module de la transformation, transformer le cycle 0 en un point a>. Les deux tangentes P'A et VB auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par les points P' et w ; le cycle K' étant tangent à AP* et P'B aura pour transformé un cycle tangent à ces demi-droites opposées, et, par conséquent, un point w' qui sera l'intersection de P'b) avec la perpendiculaire abaissée de 0' sur l'axe P' P*.

Les deux tangentes CP' et P'D auront pour transformées les semidroites opposées déterminées par la droite P' », et il est clair que le cycle 0*, qui touche CP' et P'D, aura pour transformé le point w' où P'» rencontre la perpendiculaire abaissée de 0' sur l'axe P'P'. Si l'on considère

(') RelatiYement à la transformation par rayons Tectenrs réciproques, le théorème analogue est le suivant : L'angle sous lequel se coupent deux cercles est égal à l'angle sous lequel se coupent les cercles correspondants.

Ce théorème s'étend à deux courbes quelconques, et de même dans la transformation par semi-droites réciproques :

Si une semi-droite A touche deux courbes aux deux points a et h^ et si la semi'droite réciproque A' touche les courbes transformées aux points a' et b\ les deux longueurs ab et a' b^ sont égales^

LIYBE III. — LES FIGURES SBHBLABLES. 807

maintenant les deux tangentes communes aux cycles K',R', elles auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par les points b>' et &>'. D*où il résulte que ces tangentes se coupent au point P où la droite u' &>' rencontre P' P*, et de là une démonstration nouvelle de cette proposition rappelée plus haut : Les trois centres de similitude de trois cycles considérés deux à deux sont en ligne droite; il suit de là également que si trois cycles sont tels que la droite, qui contient leurs centres de similitude y ne les rencontre pas^ on peut, par

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une transformation par semi^droites réciproques, les transformer en trois points (*).

iU. La transformation par semi-droites réciproques peut servir, comme la transformation par rayons vecteurs réciproques, soit à simplifier la solution de certains problèmesy soit à généraliser certaines propriétés géométriques.

Pour en donner un exemple simple, considérons le problème suivant : Construire un cycle touchant trois cycles donnés.

Supposons que les cycles donnés K, K' et R' soient tels que la droite qui contient leurs centres de similitude ne les coupe pas : nous pouvons, d'après ce qui précède, en prenant celte droite pour axe de transformation, transformer les cycles donnés en trois points &>, u' et &>'. Le cercle passant par ces points détermine deux cycles opposés H et H' dont les réciproques seront les solutions du problème. Deux cycles opposés rencontrant Taxe do transformation aux mômes points, il en est de môme de

(') La propriété analogue dans la Ihéorio de la transformation par rayons vecteurs réciproques est la suivante : Lorsque deux cercles se coupent, on peut toujours les transformer en deux droites»

3o8 GËOMÉTRIB PLANE.

leurs réciproques; d'où il suit que le problème proposé a deux solutions, et que Taxe radical des deux cycles qui satisfont à la question est l'axe de similitude des cycles donnés.

Le problème de mener un cercle tangent à trois cercles donnés se ramène immédiatement au précédent. On peut, en effet, donner à un des cercles un sens arbitraire, de façon à le transformer en un cycle ; on transformera également les deux autres cercles en cycles en fixant leur direction, ce qui pourra se faire de quatre façons différentes, A chaque groupe de cycles correspondent deux solutions ; le problème proposé aura donc en tout huit solutions.

415. Un point décrivant dans un sens déterminé une semi-droite ou un cycle, si Ton emploie la transformation par rayons vecteurs réciproques, on voit que le point transformé décrit une autre semi-droite ou un autre cycle (lequel peut se réduire à une semi-droite quand le pôle de transformation est sur le cycle considéré).

On peut souvent, avec avantage, employer simultanément la transformation par rayons vecteurs réciproques et la transformation par semidroites réciproques. Ainsi, en général, étant donnés cinq cycles, on peut, par deux transformations successives ^ les transformer en deux semi" droites et en trois points. En effet, si deux des cycles se coupent, par une première transformation par rayons vecteurs réciproques, on pourra les transformer en deux semi-droites. Les trois autres cycles ayant pour transformées R, K' et R', si Taxe de similitude de ces cycles ne les rencontre pas, on pourra, par une transformation par semi-droites réciproques, les transformer en trois points, tandis que les semi-droites se transformeront en semi-droites.

La méthode de transformations par semi-droites réciprt}qm's est due à M, Laguerre (*).

(') Les pages qui précèdent, et que ce profond géomètre a bien voulu rédiger spécialement pour notre Traité, ne renferment que les principes de cette théorie si ingénieuse dont le lecteur pourra constater la fécondité en consultant les Comptes rendus de V Académie des Sciences (années 188 et