LIVRE I. — Ik IIONE DHOITK. I

SCOLII.

33. Deux triangles égaux, ABC, A'B'C, sailsfoni à six conditions, savoir :

ABr:A'B', AC--A'C', BC--BC, C=:C', Br^B', A===A'.

Chaque cas d'égalité renferme trois de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu'elles sont satisraltcs, les six soient rempiles. Par suite, quand on aura reconnu dans une corulno ngure Tégallté de deux triangles par l'application de l'un des trois cas énoncés, on devra en conclure immédiatement régallté des trois éléments non emplo^rés, et l'on aura acquis ainsi de nouvelles données qui permettront d'aller plus avant dans la recherche que l'on poursuit. Tel est l'usage de la théorie de l'égalité des triangles.

11 est essentiel de remarquer que, dans deux triangles égaux, les côtés égaux sont toujours opposés aux angles égaux.

THÉORÈME

34. Si un triangle a deux côtés inégaux, l'angle opposé au plus grand de ces deux côtés est plus grand que l'angle opposé à rautre.

Soit [fig. 29) le triangle ABC, dans lequel on a AC > AB ; il

i'aut démontrer que l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB. Prenons AD^.-AB et menons la droite BDK; le triangle ABU éunt isocèle, l'angle ABD est égal à l'angle ADB ou à son opposé par le sommet KDC; l'angle KDC est donc moindre que ABC.

Joignons le point B au milieu I de DC, prolongeons Bi d'une longueur lE égaie à Bi et tirons la droite DE; les triangles DIE, BIC ont un angle égal DIE == BIC compris entre deux

CËOMttltlB PLÀNB.

:és égaux DI — IC, El = IB; ils sont donc égaux ei l'angle il est égal à ICB; mais, d'après la cODstruclion, le point E silué dans l'angle KDC ; donc l'angle KDC est plus grand e EDI ou que son égal ACB.

Donc enfin, l'angle KDC étant supérieur k ACB el inférieur lBC, il faut que l'angle ACB soit moindre que l'angle ABC.

15. REcirtOQUEMEHT, Il un triangle a deux angles inégaux, rôle opposé au pliu grand de ces deux angles est plus grand e le voté opposé à l'autre.

^insi, si l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB, on doit

)ir AC>AB.

Sn effet, si l'on avait AC = AB, on aurait (28)

angle ABC =angle ACB

si l'on avait AC <^ AB, on aurait [3!»)

angle ABC < angle ACB.

THÉOBÈUE.

16. Dans un triangle, un côté quelconque est plus petit que somme des deux autres.

11 sufQtde démontrer que le plus grand cAléBC est moindre e ta somme BA + AC des deux autres (Jig. So).

Fig. îo.

Prolongeons BA d'une longueur AD =: AC, et menons CD, triangle ACD éuni isocèle, l'angle D est égal à l'angle ACD par suite, moindre que l'angle BCD; donc (35) dans le

tngle fiCD, le c6té BC est moindre que BD, c'esi-à-dire que BA -t- AD ou BA + AC.

COIOLUIBBB.

}T. Dans tout triangle ABC, un côté quelconque BC est plus

LITM I. — L* tlGKB DSOITB. 3|

f^randque ta différence des deux autres AC et AB. En effet, soitAB le plus grand des deux cdlés AC eiAB,on aura, d'après le numéro précédent,