AB -H BC -(- CD < AM + MN -H ND

On prouverait de la même manière que toute ligne poly nale convexe ABCD eit moindre que toute ligne polygole EFGHIK qui l'enveloppe de toutes parts [Jig. 33).

THËOBËHE.

M). Si deux eûtes d'un triangle sont égaux à deux côtés tn autre triangle chacun à chacun, et si Vangle compris tte les premiers est plus grand qite l'angle compris entre les '.onds, le troisième côté du premier triangle est plus giaml r te troisi'-me côté du second {fig. 34 ).

- LjL LIGNB dboite.

Soient les deux Iriangles ABC, A'B'C dans lesquels on suppose AB= A'B', AC== A'C, angle BAC> angle B'A'C; il

faut démontrer que le côté BG est plus grand que B'C.

Transportons le triangle A' B'C en ABC*, de façon que A' B' coïncide avec AB; l'angle BAC, égal à B'A'C, étant moindre que BAC, le côté AC tombera dans l'Intérieur de l'angle BAC. Soit 1 le point où la bissectrice de l'angle C"AC rencontre BC; les deux triangles CAI, C'AI ayaçt un angle égal CAI = C'A! compris entre un , càté commun AI et deux c6tés égaux AC = AC seront égaux et l'on aura IC = iC; mais, dans le triangle BCI, on a

BC<Bl-(-IC"; donc

BC<Bl-i-IC ou B'C<BC.

W. RiciPBOQUBMBnT, SI deux triangle» ont deuxcolés égaïucliacun à chacun, et ji le troisième côté du premier est fitiis grand qne le troisième côté du second, l'angle opposé du premier triangle est plus grand que l'angle opposé du second.

Ainsi, en supposant

AB = A'B', AC = A'C', BC> B'C, un a

angle BAC > angle U'A'C.

En effet :

I* SI l'on avait angleBAC=:angle B'A'C, les triangles seraient égaux (n" 32) et l'on aurait BC — B'C.

a* Si l'on avait angle BAC<angle B'A'C, on aurait(n« kO] BC<B'C'.

LIVBB I. — L4 LIGNE DBOITB.

Corollaire.

88. Par un point A, situé hors d'une ligne droite BC, on jieut mener une parallèle à cette droite (fig. 40-

Abaissons du point A la perpendiculaire AD sur BC, et menons à AD la perpendiculaire AE. Les deux droites A£ et BC, étant toutes deux perpendiculaires sur AD, sont parallèles.

SCOLIB.

59. On j^DHBT que, par un point pris hors d'une ligne droite^ on ne peut mener qu^une parallèle à cette droite. De là résultent les deux propositions suivantes :

60. Si une droite A en rencontre une autre B, elle rencontre toute parallèle C à cette autre; car si A était parallèle à C, du point de rencontre des droites A et B, on pourrait mener deux parallèles à C.

61. Deux droites A et B, parallèles à une troisième C, sont parallèles entre elles; car, si A et B se rencontraient, de leur point de concours on pourrait mener deux parallèles à C.

THÉORÈME

62. Lorsque deux droites AB et CD sont parallèles, toute droite EF, perpendiculaire sur l'une AB, est perpendiculaire sur l'autre CD (fig. 4^).

Fie. 4a-

D'abord la droite EF rencontre CD (60). Concevons par leur

UCUIIGTKIE PLitNB.

Dt d'Intersection F la perpendiculaire à EF. Celle perpeoulalre, devant être parallèle à Afi (&7), coïncidera avec CD, sque par le point F on ne peut mener qu'une parallèle B. Donc CD est perpendiculaire sur EF et, inversement, eijl perpendiculaire sur CD.

)n énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide, disant: Deux parallèles ont leur* perpendiculairet cornnet.

TUËORËUE.

i3. Lorsque deux droites parallèles AB, CD, sont reacon- S3 par une sécante EF, les quatre angles aigus formée au- ■r des points d'intersection G et H sont égaux entre eux, si que tes quatre angles oblus formés autour des mémef nls{Jig.i3).

Fie. *3.

!:n effet, par le point 0, milieu de GH, menons sur les paèles AB et CD la perpendiculaire commune IK ; 01 tombera is l'angle aigu OGA, et OK dans l'angle aigu OHD [44}. Or, triangles recungles OGI, OUK, ont leurs hjrpoténuses et OH égales, puisque le point O est le milieu de GH, et angles aigus lOG, HOK, égaux comme opposés par le som- I : ils sont donc égaux et, par suite, l'angle OGI est égal angle OHK. Chacun de ces deux angles étant d'ailleurs il à son opposé par le sommet, on voit que tes quatre angles us OGI, ËGB, OHK, CUP, sont égaux entre eux. >e même, les quatre angles obtus AGE, 0GB, DHF, OHC, it aussi égaux entre eux, comme suppléments des angles

\k. RECIPROQUEMENT, deux droites AB el CD étant coupées par r sécante EF, si les quatre angles aigus ou les quatre angles

34 GËOHfitRIE TLLÎtS.

SCOLII.

66. La proposition directe ei la proposition réciproque étant (iémontrées, les propositions coniraires sont vraies par cela inéme. Ainsi :

Deux droites étant coupées par une sécante, si les angles Tormés ne satisront pas aux relations que nous venons d'énoncer, les deux droites ne sont pas parallèles. En particulier :

Lorsque deux droites font avec une transversale deux angles intérieurs d'un même côté dont la somme diffère de deux angles droits, ce* droites se rencontrent du côté de la sécante où celte somme est inférieure à deux angles droits.

C'est l'axiome XI de la Géométrie d'Euclide; on prérère aujourd'hui prendre pour axiome la proposition énoncée au ii'SQ.