Voici deux autres remarques souvent utiles

I" Deux droites [fig. 45). l'une AB perpendiculaire, et l'autre CD oblique sur une troisième droite AC, doivt^nt se rencontrer; car la somme des deux angles intérieurs BAC, ItCA, est moindre que deux angles droits.

Fig. 45. '■iG^ 46-

a" Deux droites EF, GH [Jig- 46), respectivement perpendiculaires à deux droites CA et CB qui se coupent, doivent se rencontrer; car, en menant la droite EG, on voit que chacun des angles Intérieurs FEG, HGE, est moindre qu'un angle droit : la somme de ces angles est donc inrérieure ï deux angles droits. THÉORÈME.

68. Deux parallèles AC, BD, comprises entre deux autres parallèles AB, CD, sont égales (fig. 47).

En elTei, menons AD. Les deux triangles ABD, ACD seront égaux comme ayant un cOte commun AD adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, savoir : l'angle BAD égal a l'angle AOC comme alternes-intornes par rapport aux parallèles AB, CD,

GtOMBTBlE PLINI.

e même, les angles D£F, OHC, sont égaux comme dants par rapport aux parallèles EF, HC, coupées onc, l'angle ABC est égal à l'angle DEF. osons que les côtés parallèles soient dirigés deux à ;ns contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, et EQ sont parallèles et dirigés, le premier de bas ; deuxième de haut en bas ; BC et EG sont parallèles l'un de gauche à droite, l'autre de droite à gauche : ngles considérés sont égaux.

, en prolongeant les côtés de l'angle GEII au delà :t E, on forme un angle DEF égal d'une part à GEU jposé par le sommet, et d'autre part égal à ABC ant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce gle et dirigés dans le même sens, osons enQn que deux côtés soient parallèles ei de s, et les deux autres parallèles et de sens contraires, r exemple, les angles ABC, DEG; BA et ED sont padirigés l'un et l'autre de bas en haut; BC etEG sont 'tdirigés, le premier,de gauche à droite, le deuxième. Il gauche : les deux angles considérés sont supplé-

, en prolongeant GE au delà du sommet E, on rormc )EF qui est, d'une part, le supplément de DEG, ei autre pari, égal à ABC comme ayant ses côtés resnl parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés !me sens.

mé, deux angles qui ont leurs côtés parallèles sont Bi côtés parallèles sont dirigés deux à deux dam te !, ou encore si les côtés parallèles sont dirigés deux 1 sens contraires; ils sont supplémentaires si deux llèles sont de même sens et les deux autres de sens

IX angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun sont égaux ou supplémentaires.

idéroos deux angles aigus ABC, DEF [Jig. 5o]; la est perpendiculaire sur BA, et lo côté £F est

GËOXGTBIB PL*5I.

angles opposés quelconques, DAB et BCD. par )nt égaux enlre eux; car ils sont Tormés par des Mes deux à deux et de sens contraires (70). AB n effet parallèles ei de sens coniraires, et il en e?:t AD et de CB.

e des diagonales AC et BD est coupée par i'auire. en deux parties épies. En effet, les deux irian- >C, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux. hé AB égal au côlé DC, comme côtés opposés du nme; l'angle OAB égal à l'angle OCD, comme allés par rapport aux parallèles ;\B et CD coupées 'angle OBA égal à l'angle ODC, comme alternerrapport aux mêmes parallèles coupées par Bf>. ;AOB, DOC sont doncégaux. Par suite, le côté OB, igle OAB, est égal au côlé OD opposé à l'angle OCD. L opposé à l'angle 0B.\ est égal au côté OC opposé G.

THÉORÈME

adrilatère convexe est un parallélogramme :

7dlés opposés sont égaux deux à deux;

ingles opposés sont égaux deux à deux ;

X côtés opposés sont à la fois égaitx et parnl-

Uagonnles se coupent mal licitement en den.r par-

adrilalère ABCD (Jig. 6i).

1 la diagonale AC. Les deux triangles ABC, ADC, :omme ayant les trois côtés égaux, savoir: ACcom- CD égaux entre eux par hj'pothèse, ainsi que AD lite, l'angle BAC opposé à BC est égal à l'angle ACD >; et comme ces angles occupent, par rapport aux s AB et CD et à la sécante AC, la position d'aïles, les deux côtés AB et CD sont parallèles (60). égalité des angles BOA ei CAD entraîne le parallé- :ux autres côtés AD et BC. Donc, le quadrilatère

GfionËTRiE |'L*^E.

i OAD, OCB, et, par suite, le parallélisme des deux autres U opposés AD et BC. Le quadrilatère ABCD, a;ant ses îs opposés parallèles deux k deux, est donc un paratlélo- Dme.

THËORËMB.

S. Tout rectangle est un parallélogramme dont les diagoes wnl égalf^s (Jig. G3).

l'abord, tout rectangle est un parallélogramme, puisque ses les opposés sont égaux (84, 2°). En second lieu, les deux ngiesDAB, CBA, par exemple, sont égaux comme ayant un le égal compris entre deux côtes égaux, savoir: l'angle it DAB égal à l'angle droit CBA, le côté AB commun, et le i AD égal au cdté BC, comme côtés opposés d'un parallé- 'amme; donc, les diagonales AGet BD, hypoténuses des ngles rectangles égaux DAB, CBA, sont égales.

6. Rfici PHOQUE VENT, tout parallélogi.imme dont les dingo- !j sont égales est un rectangle [fig. 63). Car les triangles B, CBA, sont alors égaux comme ayant leurs trois c6tés ux : donc, l'angle DAB est égal à l'angle CBA, et comme cun d'eux est égal à son opposé (83), on volt que le paraigramme considéré a tous ses angles égaux et, par suite, un rectangle.

THËOBËHE.

7. Tout losange est un parallélogramme dont les diago- ;j sont .• 1' perpendiculaires l'une sur l'autre; 2° bisseces des angles opposés {Jig. 64).

'abord, tout losange est un parallélogramme, puisque ses îs opposés sont égaux (8V, i")-

n second lieu, les triangles ABC et ADC étant isocèles, jqne les quatre côtés d'un losange sont égaux, la diago* s BD, qui passe par le milieu 0 de la diagonale AC, est â la perpendiculaire sur AC et bissectrice des angles B et D.

GËOaATHIB PLIIÏB.

;iuel ce premier arc appartient, de manière qu'ils aient une iréoiilé B commune; l'arc ABC, compris entre les exirélés non communes A et C, est dit la somme des deux arcs iposés.

)k. Un point est intérieur ou extérieur à un cercle suivant e sa distance au centre est plus petite ou plus grande que rayon.

Ï5. Une droite quelconque EP ne peut rencontrer une cir~ nférence 0 en plus de deux points Cet H {Jtg- 67 ).

En effet, du centre 0 à la droite EF, on ne peut mener au js (^6) que deux droites OC et OD égales au rayon.

On donne le nom de sécante à toute droite EF qui coupe circonlérence en deux points G et D. On appelle corde la rtie CD intérieure au cercle, et l'on réserve le nom de dia- Hre aux cordes qui passent par le centre. Tous les diamètres d'un cercle sont égaux, car un diamètre elconque AB est la somme de deux rayons OA et OB.

96. Le diamètre est ta plut grande corde du cercle. Car une corde quelconque CD est moindre que la somme ! + OD des deux rayons qui aboutissent à ses extrémités : e est donc moindre qu'un diamètre.

Ï7. Foui diamètre AB divise la circonférence et le cercle en ux parties égales [Jig. 6;).

En elTet, si l'on plie la figure autour d'un diamètre AB, un on quelconque OC de la partie supérieure prendra la direcn du rayon OC qui fait de l'autre cdlé de AB un angle C'OA il à l'angle COA ; et, à cause de l'égalité des rayons, le point C

lolndre que l'arc AMU, le point B tombe entre les points A t II, et l'angle AOB csl inférieur h l'angle AOH. Par suite, les eux triangles AOB, AOH, ont un angle inégal compris entre eux côtés égaux chacun à chacun, savoir OA commun et tB^^OH comme rayons d'un même cercle. Donc (40] le fité AB opposé à l'angle AOB est moindre que le côté AH oposé à l'angle AOH.

100. Du théorème qu'on vient de démontrer et du principe énéral du n< 7 il suit que :

RËciPBOQiiBMinT, dans un même cercle ou dans des cercles gaux, à des cordes égides répondent des arvs égaux, et à une tus grande corde répond un plus grand arc.

101. Nous n'avons considéré dans ce qui précède que des rcs moindres qu'une demi-circonférence (98). Si l'on consiérait des arcs plus grands qu'une demi-circonféreoce, pour 1 seconde partie du théorème tes conclusions seraient iaerses : l'arc augmentant, la corde diminuerait au lieu de roUre.

TIIËORËHE.

102. Le diamètre AB, perpendiculaire sur une corde CD, Ui'ise celte corde elles deux arcs GBD, C&M, qu'elle sous-tenà, hacun en deux parties égales (fig. 69).

En effet, soient 0 le centre de la circonférence el I le point le rencontre du diamètre AB el de b corde CD. Les rayons OC, >D, étant, par rapporta la perpendiculaire 01, deux ohllque^ égales, s'écartent également du pied de celte perpendiculaire. )a a donc CI — ID. En d'autres termes, la corde CD est divisée

ia GtO«GTBtE PLAHE.

'OF, sont égaux comme ayani l'hypoténuse égale et un cdté !gat, savoir : OB = OC comme rayons d'un même cercle, et i)B=CF comme moitiés de cordes égales, puisque les pieds E :t F des perpendiculaires OE et OF sont [ 102 ) les milieux des :ordes AB et CD. Donc OE, troisième côté du UiiDgle 0£fi, tsi égal à OF, troisième cAté du triangle OCF.

a" Soient les deux cordes inégales AG et CD. On suppose AG noindre que CD, et il Taut démontrerque la perpendiculaire OH, nenée du centre sur la première corde, est plus grande que a perpendiculaire OF. Par le point A menons une corde AB igale à CD. La distance CE du centre à cette corde sera égale I OF, et il reste à démontrer que OE est moindre que OH. Or, a corde AG étant moindre que la corde AB, l'arc AG est inféieur à l'arc AB, et, par suite, le centre 0 du cercle et le miieu U de la corde AG sont situés de part et d'autre de la Iroite AB. Donc AB rencontre OH en un point I situé entre O ;t H, et l'on a OI<;OH. Mais, puisque OE est perpendicuaire sur AB, 01 est oblique, et l'on a