OE<OH

105. Du tliéorèmc qu'on vient de démontrer et du principe ;énéral du a' 7 il résulte que :

RScipaoQnsnnT, dcuit un même cercle ou dont des cercle* gaux, deux cordes également éloignées du ventre sont égalest l, de deux cordes inégalement éloignées du centre, la plus ioignée est ta plus petite.

CtOMiTHIE PL* H II.

:45), el inversement, la langenle CD est perpcodiculaire point A sur le raj'on OA.

COROLLIIBES.

)9. Par un point A d'une circonférence 0, on peut tours mener une tangente à cette courbe, et l'on ne peut en ler qu'une.

10. Toute tangente est parallèle aux cordes que le dtare mené au point de contact divise en deux parties fei{103}.

SCOLIES

11. On peut considérer la tangente AC en un point A le circonférence (Jîg. 72) comme la position limite qui' td une sécante AB lorsque cette sécante tourne autour 9oint A de manière que le second point d'intersection It ne se confondre avec le premier. Car, lorsque les deux its d'intersection B ei A sont ainsi réunis en un seul, la le AC n'a plus qu'un point commun avec la circonfê- ;e.

îtte nouvelle dérinilion de la tangente est applicable à es les courbes. D'ailleurs, nous verrons plus tard qu'outre énéralité cette définition a sur celle du n° 100 l'avantage neitre en lumière l'intime corrélation de certains théoes qui sembleraient sans cela tout à Tait distincts, n dit qu'une courbe ou qu'un arc de courbe est convexe ]ue cette courbe ou cet arc tombe entièrement d'un même de chacune de ses tangentes. Le raisonnement du n* 107 ive que la circonférence est convexe.

ous avons vu au n° 95 qu'une droite quelconque ne peut :ontrer une circonférence en plus de deux points. Tout le courbe convexe jouit de la même propriété ; car, si une te coupait cet arc en trois points, le premier et le dernier it seraient situés de part et d'autre de la ungenie au point rmédiaire.

12. On appelle normale en un point d'une courbe la perdiculaire élevée par ce point à la langente correspondante.

fttOMlTKtS PLini.

lînguer trois cas :

ons {fig. 74) que les parallèles AB, CD, soient sébaissons du centre 0 sur ces droites la perpendî- .mune OM qui coupe la circonférence en H. Le

. 74. Fig. 75. Fig. 76.

(103) â la Tols le milieu de l'arc EMF que sousle £F, et le milieu de l'arc GMH que sous-tend la an a donc

arc EH = arc FM, arc GH t= arc HH ;

istrayant membre à membre,

arc EH — arc GM = arc FH — arc HH,

arcEG = arcFH.

ions {fig. 75] que les parallèles ABetCD soient e et l'autre tangente. Alors le rayon OK, qui abou- . de conuct, est (107, 110) une perpendiculaire la tangente CD et à la corde ËF qui lui est paralle donc l'arc EKF, sous-tendu par cette corde, en I égales, et l'on a

arcEK = arcFK.

ons enfin [fig. 76) que les deux parallèles AB et CD mes, l'une en I et l'autre en K. Les deux rayons 01 ectivement perpendiculaires à ABetàCD, seront longemenl l'un de l'autre, puisque des droites nt leurs perpendiculaires communes. Les deux QI, sont donc égaux l'un et l'autre i une demi-

GfiOMÊTRIB PLANE.

passent par un même point. Oo en conclut immédiatemeni que les trois hauteurs d'un triangle ABC (fig- 78), c'esl-à-dire les perpendiculaires AD, BE, CF, abaissées des sommeis sur les côtés opposés, passent par un même point. Il suffit pour cela de montrer que ces trois hauteurs sont perpendiculaires sur les milieux des côtés du triangle A'B'C formé en menant par les sommets du triangle primitif ABC des parallèles aux côtés opposés. Or, AD perpendiculaire à BC l'est aussi à sa parallèle B'C ety de plus, les longueurs AB' et KG sont égales entre elles, puisqu'elles sont respectivement égales à BC comme parallèles comprises entre parallèles.

118. Deux circonférences ne peuvent avoir trois points communs sans coïncider; d'où il suit que deux circonférences distinctes ne peuvent avoir plus de deux points communs.

Lorsque deux circonférences ont deux points communs, on dit qu*elles se coupent ou qu*elles sont sécantes.

Lorsque deux circonférences n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes; le point commun est appelé point de contact.

THÉORÈME

119. Lorsque deux circonférences se coupent, la droite OO' qui joint leurs centres est perpendiculaire sur la corde commune AB et divise cette corde en deux parties égales (Jig» 79).

fie- 79-

Fig. 80.

En effet, la perpendiculaire élevée sur la corde commune AB par son milieu I doit passer par le centre de chacune des deux circonférences 0 et 0' (103).

COROLLÀIBB.

120. Supposons que, la circonférence 0 restant fixe, ainsi que le point A, la circonférence 0' tourne autour du point A,