C.0D4-AC.BD = 0K.0H

516. ABCD étant un quadrilatère quelconque et T le point de concours des perpendiculaires menées par les extrémités du côté AB aux côtés adjacents AD et BC, démontrer que la perpendiculaire menée par le point T sur la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère, divise le côté AB en deux segments proportionnels aux projections des côtés BC et AD sur AB.

517. La somme algébrique des perpendiculaires abaissées des sommets d'un polygone régulier sur une droite menée par son centre, est nulle quelle que soit la direction de cette droite.

QUBSTIOlfS FROPOSÊCS. 407

5i8. £tanl donnés nn triangle ABC et des droites ka^ B^, Ce» qui allant des sommets aux côtés opposés se rencontrent en un même point, on fait passer un cercle par les trois points a, b^ c, lequel coupe les mêmes côtés du triangle en trois autres points /i', b\ c'; démontrer que les droites A a\ Bb\ Cc\ se rencontrent aussi en un même point.

519. D'un point pris dans Tintérieur d*un triangle ABC, on mène des sommets aux côtés opposés les droites AH, BE, CP^ puis on joint deui à deux les j)oints U, E, F; démontrer que les droites AH, BE, CF, sont alors divisées barmoniquement. — Inversement, si une droite AH est divisée harmoniquement en G et D, et si F est un point d'une autre droite AB, les intersections E et C des droites FG et BD, FD et BH, sont en ligne droite avec le point A.

520. Par le sommet A d*un triangle ABC, mener une droite telle, que les perpendiculaires BB', CC, abaissées sur elle des extrémités de la base, forment des triangles rectangles ABB', ACC, équivalents.

521 . L'aire d'un quadrilatère quelconque ABCD est égale à l'aire du triangle ayant pour base l'un des côtés AB et pour sommet le point de concours des deux diagonales, plus trois fois le triangle ayant pour base le côté CD et pour sommet le point de concours des deux droites qui joignent les centres de gravité des triangles ABC et CDA et des triangles BCD et DAB.

522. Inscrire un carré dans un parallélogramme. — Discussion.

523. Étant donné un quadrilatère ABCD, si l'on prend à volonté un point M sur AB et un point N sur CD, et que l'on mène les droites AN et DM qui se coupent en P, puis les droites CM et BN qui se coupent en Q, la droite PQ passe par un point fixe.

524. Décrire un cercle tangent à deux cercles donnés et qui passe par un point donné de leur axe radical.

525. Étant donnés deux points A et B et deux circonférences passant. Tune par A, l'autre par B, trouver sur Taxe radical de ces circonférences un point C tel, que la droite qui unit les secondes extrémités des cordes déterminées par les sécantes CA^ et CB soit perpendiculaire à cet axe radical.

526. Un triangle PQR étant circonscrit à un cercle 0, on forme un second triangle ABC ayant pour sommets les milieux des côtés du premier; des points A, B, C, on mène au cercle 0 des tangentes qui rencontrent en /7, 6, e, les côtés opposés du triangle ABC; démontrer que les points a, b^ c, sont en ligne droite.

4o8 GÊOMÉTRIK PLANB. QUESTIONS PROPOSÉES.

!$27. Deux triangles circonscrits à un cercle, donné de rayon R el ayant leurs côtés parallèles deux à deux, déterminent en s'entrecoupant six triangles partiels; démontrer que le produit des surfaces de ces six triangles et des deux triangles donnés est égal à la seizième puissance du rayon R.

528. Les droites, qui joignent les milieux des diagonales de tous les quadrilatères formés en prenant quatre côtés consécutifs d'un pentagone,

concourent en un même point.

529. Inscrire dans un cercle un polygone régulier de 17 côtés; montrer que le côté de ce polygone est sensiblement égal à la moitié de l'excès du côté du triangle équilatéral inscrit sur le côté de l'hexagone régulier inscrit, et trouver une limite de l'erreur que comporte cette valeur approchée.

530. Étant donnés deux triangles ARC, a^y, tels que les côtés 2^, 67, 72, du second passent respectivement par les sommets C, A, R, du premier, on demande d'évaluer Taire du triangle a^ en fonction de l'aire du triangle ARC et des rapports des segments que les côtés du triangle otpy déterminent sur ceux du triangle ARC. — Déduire, de la formule obtenue, le théorème de Céva (311).

NOTES

NOTES

MESURE DBS GRANDEURS.

La mesure de l'étendue étant Tun des objets principaux de la Géométrie, nous avons cru, pour éviter les répétitions et pour fixer les idées, devoir réunir les questions relatives à la mesure et à la proportionnalité des grandeurs, en les traitant d'une manière succincte, mais méthodique. Tel est Tobjet de cette Note; les commençants pourront omettre les parties marquées d'un astérisque.

Mesure d*une grandeur commensurahle avec Vanité,

i. On acquiert la notion du nombre entier en considérant des objets distincts et semblables. Nous allons expliquer comment le problème de la mesure des grandeurs conduit à étendre cette première idée.

On ne considère, en Mathématiques, que les grandeurs dont on peut définir d'une manière précise Vénalité et V addition ; tels sont, par exemple, les angles : nous avons dit en effet ce qu'on entend par angles égaux et par somme de deux angles. Une grandeur est plus grande qu'une autre quand elle est la £omme de cette autre et d'une troisième de môme nature.

Lorsqu'une grandeur est la somme de a, 3, 4* ••• parties, égales à une autre grandeur de même espèce, on dit que la première est un multiple de la seconde, et que la seconde est une partie aliquote de la première.

Deux grandeurs sont dites commensurables entre elles lorsqu'elleâ sont des multiples d'une troisième grandeur qu'on appelle alors leur commune mesure; dans le cas contraire, elles sont incommensurabies entre elles.

. Pour mesurer une grandeur, on cherche une commune mesure entre cette grandeur et une autre de même espèce, arbitraire, mais bien connue, et qui reçoit le nom d'uniie'.

Si cette commune mesure est l'unité elle-même, et que la grandeur proposée la contienne, par exemple, 3 fois sans reste« on dit que la grandeur est mesurée par le nombre entier 3.

Si cette commune mesure est une partie aliquote de l'unité, par exemple, si, l'unité étant partagée en cinq parties égales, la grandeur proposée est la somme de trois de ces parties, on dit que celte grandeur

4ia NOTE I.

est les Irois-cinquièmes de Tunilé et qu'elle est mesurée par le nombre

trois-cinquièmes, que Ton écrit -= • Oa qualifie d'ailleurs un tel nombre

de fractionnaire pour le distinguer des nombres entiers seuls considérés jusque-là.

En résumé, mesurer une grandeur commensurable avec Vunité, c^est chercher combien cette grandeur renferme d'unités ou de parties aii' quotcs de l'unité. Suivant que la grandeur est un multiple de Tunité on un multiple d'une partie aliquote de Tunité, le nombre qui exprùne sa mesure est entier ou fractionnaire. Réciproquement, toute grandeur mesurée par un nombre entier ou fractionnaire est commensurable avec l'unité, car elle est un multiple de Tunité ou d'une partie aliquote de l'unité.

Deux nombres entiers ou fractionnaires sont égaui s'ils expriment les mesures de deux grandeurs égales, l'unité étant la môme.

La somme de deux nombres entiers ou fractionnaires est le nombre qui mesure une grandeur égale à la somme des grandeurs mesurées par les deux autres, l'unité étant la même.

Un nombre est plus grand qu'un autre quand il est la somme de cet autre et d'un troisième nombre.

C'est dans les Traités d'Arithmétique qu'il faut voir les conséquences de ces principes fondamentaux ; nous regarderons ici comme acquises toutes les règles du calcul des nombres entiers ou fractionnaires.

* Mesure d'une grandeur incommensurable avec l'unité.

S. Considérons maintenant une grandeur  incommensurable avec l'unité U.

On appelle valeur approchée de A par défaut à moins de -. n étant

entier ou fractionnaire, le nombre qui mesure le plus grand multiple de

la grandeur— contenu dans A. Ainsi, A contenant — un nombre entier ^ n ' n

de fois m. avec un reste moindre que — i

est la valeur approchée de A à moins de - par défaut^ et

est la valeur approchée do A à moins de - par excès

HKSURB DES GRANDEURS. 4^3

Cela posé, le nombre qui mesure une grandeur A incommensurable avec Funilé est par définition la limite vers laquelle tendent les valeurs

approchées de À à moins de-? lorsque n croit indéfiniment.

Pour justifier celle définition, il faut montrer que cette limite existe et qu'elle est uniqae, c'est-u-dire indépendante de la loi suivanl laquelle on fait croître n indéfiniment.

A cet effet, nous désignerons par On la valeur approchée de A par défaut et par ^;» la valeur approchée par excès à moins de - •

Un n'augmente pas toujours avec n (i); désignons par a„ et appelons

valeur principale de Kh moins de - par défaut la plus grande des valeurs

de a^ pour toutes les valeurs de v non supérieures à n. Alors, lorsque n croîtra, la valeur principale a^^ croîtra aussi ou du moins ne décroîtra jamais, et comme an, mesurant une grandeur moindre que A, reste inférieur à Tune quelconque des valeurs a^ approchées par excès, ^n aura une certaine limite a quand n croîtra indéHniment. De même a'^ ne décroît pas toujours quand n augmente; désignons

par a^ et appelons valeur principale de k à moins de - par excès la

plus petite des valeurs de a[ pour toutes les valeurs de v non supérieures à /i. Alors, lorsque n croîtra, la valeur principale a^ décroîtra ou du moins ne croîtra jamais; et comme a^,, mesurant une grandeur supérieure à A, reste supérieur à Tune quelconque des valeurs an approchées par défaut, a'^ tend vers une certaine limite quand n croît indéfiniment.

Or, on voit de suite que cette limite n'est autre que a et que les valeurs approchées a^^ a'^ tendent aussi vers a lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque. En eflet, a^ et «„ étant, d'après leur définition même, compris l'un et l'autre entre Un et a'^y la diflérence entre a,» et chacune des quantités a^, 0», a\ est moindre en valeur absolue que

c^n ~ ^ny ot par suite moindre que la fraction - > qui tend vers zéro

quand n augmente indéfiniment.

* Calcul des nombres incommensurables.

5. Un nombre est dit commensurable ou incommmsurable suivant que

(') Par exemple, li A est la diajronale du carré dont le oùie «t cgal à l'unité, on a «„= — et «,, = — 9 et par coniéquent «„ < <i„.

4l4 NOTK I.

la grandeur donl il exprime la mesure est commensurable ou incommensurable avec Tunité adoptée. Les nombres commensurables sont les entiers et les fractions.

Par définition, le résultat d'une opération sur des nombres incommensurables est la limite du résultat de la même opération sur leurs valeurs

approchées à moins de — y lorsque n croit indéfiniment,

n faut démontrer que cette Hmite existé et est unique, c'est-à-dire indépendante de la loi suivant laquelle n croit indéfiniment : c*est ce que nous allons faire en considérant successivement chacune des opérations élémentaires.

Pour employer des notations uniformes, nous désignerons tout nombre incommensurable par une lettre minuscule, a par exemple; alors a^ et z?;,

seront ses valeurs approchées par défaut et par excès à moins de - >

«A et a'„ ses valeurs principales à moins de - ; enfin, nous emploierons

le symbole Â^ pour désigner indifféremment Tune quelconque des valeurs an et (^nt sans spécifier Tune d'elles.

Addition. — Soient les deux nombres incommensurables a et h. Lorsque n augmente, la somme a/^H- p» croit ou du moins ne diminue pas, et, comme elle reste inférieure à Tune quelconque des valeurs de «'/»-*- ^n) on voit qu'elle a une limite. D'ailleurs, ÂaH- B^ a la même limite, car la différence entre les quantités

«» -4- P/» et A„ -4- B„

est moindre en valeur absolue que la somme des différences iz)»— a»,

^\—^nt c'est-à-dire moindre que la quantité > qui tend vers zéro quand

n augmente indéfiniment suivant une loi quelconque. C'est cette limite qu'on appelle a-*rb.

Soustraction. — On dit que a est plus grand que h si pour toute valeur de /i on a /7a > ^a* Cela posé, la différence a^ — pjg croit avec n en restant moindre que Tune quelconque des valeurs de a^-^ Pn ; elle a donc une limite. D'ailleurs, An — B^ a la môme limite, car la différence entre les quantités

«»— p; et Aa-Ba

est moindre en valeur absolue que la somme des différences a\^ a«, ^rt — ^/») c'est-à-dire moindre que la quantité - > qui s'annule pour #» = ». C'est cette limite qu'on nomme a^b.