MESURE DES GRANDEURS

Comme on a, quel que soit /7,

on aura à la limite

Donc la différence a — b^ définie comme nous venons de le faire, est bien le nombre qui, ajmté à b, reproduit a.

Multiplication, — Le produit vnPn croit avec n en restant inférieur à l'une quelconque des valeurs de a'„ ^^ '> il & donc une limite. D'ailleurs, ÂaBa tend vers la. môme limite, car le quotient

A/,B/, An Bn

«nprt «n Pn

étant le produit de deux facteurs qui tendent vers i , a pour limite Tunité. C'est cette limite qu'on appelle ab.

Comme on a, quel que soit /?,

on a à la limite

ab a ba.

La valeur du produit ab, tel que nous venons de le définir, est donc indépendante de V ordre des facteurs.

Le produit de plusieurs facteurs incommensurables, dans le cas où le nombre des facteurs est supérieur à deux, se définit comme dans le ca& où les facteurs sont commensurables.

Division. — Le quotient ^ croit avec n en restant inférieur à l'une

^' quelconque des valeurs du quotient ^^ ; il a donc une limite. D'ailleurs,

TT- tend vers la môme limite, car l'expression

A|» . «n A» Pn

B/i ' P'n, a» Bn étant le produit de deux facteurs qui tendent vers i , a pour limite l'unité. C'est celte limite que l'on représente par ?• Comme on a, quel que soit /i,

4l6 NOTE 1.

on a à la limite

Le dividende est donc bien égal au produit du diçiseitr par le quo" tient tel que nous venons de le définir.

Rapport de deux grandeurs,

6. On nomme rapport d'une grandeur A à une grandeur B de mémo espèce le nombre par lequel il faut multiplier la seconde pour avoir ia

première. On désigne ce rapport par j*

Le rapport de deux grandeurs k et ^ de même espèce est égal au

nombre qui mesure la première lors qu* on prend la seconde pour unité'.

En effet, si le rapport donné est, par exemple, ? ) la première grandeur

est le produit de la seconde par ? (15); mais multiplier une grandeur

par - 9 c'est en prendre les - - La première grandeur est doue les 7 de

la seconde, et, par suite, -= est le nombre qui mesure la première grandeur lorsqu'on prend la seconde pour unité.

* Si le rapport de A à B, c'est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier B pour avoir A, est incommensurable, désignons-le par r, et appelons m le nombre qui mesure A, B étant pris pour unité. Soient

d'ailleurs - et deux valeurs approchées à moins de -1 l'une par

défaut, l'autre par excès, du rapport r. On aura alors

Le nombre m qui mesure A sera donc compris entre les nombres ~

Êe i ■ mf* Jt* I ■

et qui mesurent les deux grandeurs B - » B , B étant l'unité. Donc

les nombres m et r, étant compris l'un et l'autre entre deux nombres -

et ~ + - 1 qui diffèrent aussi peu qu'on veut pour n assez grand, ne sauraient avoir une différence assignable.

7. Il résulte de là que, lorsque deux grandeurs A rt B ont été iwo