DROITE ET POINTS HARMOMQUBXKNT ASSOCIÉS A UN POINT DONNÉ

6. Soit M un point quelconque du plan ABC (/?^. 4)* Les droites AM, BM, CM rencontrent BC, CA, AB aux points M|, >[s, M,; désignons par

Fig. 4«

mj, mi, /71s les conjugués harmoniques de ces points par rapport aux extrémités des côtés correspondants du triangle ABC. On a les égalités (311 et 331)

MiB M,C M, A

MiC M, A M,B

MiC

f/i|B MsC

rr>

//il C Mî A

//ii A

nh A .

( ' ) Emila Lomoine, Aêtoeiation françtdse pour t avancement det ScUneeâ, CiDgré» de BloU (1884 ).

R. et Di C. -^ Tr, de Géom, ( l** Partie). a8

d*où Ton déduit

//2lB

rfifC m^X

//Il G

MsA

m, G MjA

mtC

Ml G /?/2 A /W3B

Par conséquent (310, 326) : i® Les points /Wi, /?ij, /Ws jo/i/ situés sur une mâme droite /w, axe d'homologie du triangle fondamental ABC et du triangle M1M1M3 {triangle pédal de}A.)\

2* Les droites A/z^i, B/zij, G ///s forment un triangle MaM^Mc, dont les sommets sont situés sur les droites AM, BM, GM. (Gomparer avec le n** 315.)

La droite m est à\iQ harmoniqucment associée 9\x point M; on l'appelle également polaire trilinéaire de ^i. M est le point harmoniquement associé à la droite m ou \q pôle trilinMre de m. Les points Ma, M^, M<.,

Fig. 5.

sont harmoniquement associés à M; ce sont les conjugués harmoniques dj M par rapport aux segments AMi, BM,, GM|. Enfin, les polaires tri-

linéaires des points M^, M^,, M^ ou les droites miM^Ms, Mim^Mj, MiMs/i?3, sont harmoniquement associées à la droite m\m^mz'

Si Ma est le point donné, les associés sont M, M^, M^.

Pour construire le pôle trilinéaire M d'une droite m, qui coupe les côtés du triangle fondamental en mi, /7it, m^y on trace les droites A /nj, Bmt, Cms, qui forment un triangle MaM^Mc; les droites AMa^BM^, GM^ concourent au point cherché M.

Les coordonnées d'une droite sont inversement proportionnelles aux coordonnées barycentriques de sou pôle trilinéaire. Si a, ^y 7 sont les coordotinées barycentriques ou normales d'un point, celles des points associés sont

SCOLIE

7 i" Les associés du centre de gravité G sont les sommets du iri-

Fig. 6.

angle anUcomplémentairo A'B'C (/%. 3); la polaire trilinéaire deGesi la droite de rinûnî.

436 ISOTB IIU

1^ La polaire Crilinéaire h^h^hi de Torlbocenlre H est Taxe d'honaologie du triangle fondamental ABC et du triangle orlhique liiH^Ha Lfis- 5); on l'appelle axe ortinque de ABC.

L'axe orthique d'un triangie est l'axe radical du cercle circonscrii et du cercle des neuf points ; il est perpendiculaire à la droite d'Euler.

Bn effet, les quadrilatères inscriptibles il'HiHsUs, BCHiHa donnent

//,H,.//,A'=//,n2./MH3, //,B.//,C = //,H2.//,Hs,

d'i^ù /^iHi./>iA'==^ //iBiAiC; par suite, hi appartient à Taxe radical des cercles 0^ O9.

S*" Les associés du centre I du cercle inscrit à ABC sont les centres la, \b> Ir des cercles exinscrits; la polaire trilinéaire de I joint les pieds 'ij 'î» «3 des bissectrices extérieures (fig, 6).

La droite ixi^iz est perpendiculaire- à 10. En effet, ABC est le triangle orthique, et le cercle circonscrit 0 est le cercle des neuf points du triangle laUI^; donc 10 est la droite d'Euler du dernier triangle.

Soient li, I}, I3 les pieds des bissectrices intérieures de ABC. ABC élant le triangle orthique de chacun des triangles IIcU» le Haï Ulal* on démontre facilement que les droites UU^ Uli^ liU sont respectif i'cment perpendiculaires aux droites Ola, 01/,, Ole-