POINTS INVERSES
9. Lorsque deux angles de môme sommet ont même bissectrice, nous dirons que les deux côtés de Tun des angles sont des droites isogonales par rapporta l'autre angle. Visogonale d'une droite menée par un sommet du triangle de référence est la symétrique de celte droite par rapport h la bissectrice de Tanglo correspondant du triangle.
LEMME
Soient P, Q deux points quelconques pris sur deux droites isogonales par rapport à l'angle BAC (Jfg' 9).
( ') £. Vigcrié, Journal de Mathématiques eiénientaires, i$85.
1* Les distances de P aux côtés de l'angle BAC sont inversement pnh' portionnelles à celles de Q aux mêmes côtés;
2* Les projections des points P, Q sur les deux côtés de l'angle BAC sont quatre powts d'une même circonférence ;
3" La droite qui joint les projections de l'un des points P, Q sur les côtés de l'angle BAC est perpendiculaire à celle qui unit l'autre point
au sommet de l'angle.
Fig. 9-
r Soient Pi, Qj les projections des points P, Q sur AB, et soient Pj, Qi leurs projections sur AG. Si l'on retourne le quadrilatère AQsQQt autour de la bissectrice de l'angle BAC, il devient homothétique au quadrilatère APiPPj. Il en résulte que
OQ, PPi
Wi PPa
ou PPi.QO, = PP,.QQ,
2" Les droites PiPj, QiQs sont antiparallèles par rapport à l'angle BAC ; car leurs directions sont symétriques par rapport à la bissectrice de cet angle. Le quadrilatère PiPîQiQjest donc inscriptible ; le centre de la circonférence circonscrite est au milieu de la droite PQ, à la rencontre des perpendiculaires élevées aux milieux des cordes PiQi,
3"* Le quadrilatère APiPPj étant inscriptible, on a angulairement APiP, - APP, -- go" - \\\\\ 90" - P. AO; donc les droites AQ, PiPj sont rectangulaires.
THÉORÈME
iO. Soii M tin point quelconque du plan du triangle ABC (/fg- lo) :
I* Les isogonales des droites AM, BAI, CM concourent en un même point M/;
a* Les projections des points M» l\isur les côtés du triangle ABC sont siv points d'une même circonférence ;
' 3* Les côtés du triangle podaire {^) de l'un des points M, M/ sont, respectivement, perpendiculaires aux droites joignant l'autre point à A, B, C ;
4° Les coordonnées normales de M/ sont inversement proportionnelles à celles de M.
i" et a°. La première partie du théorème résulte du n° 313. On peut ogalement l'établir, en même temps que la seconde partie, en s'appuyant sur le lemme qui précède.
En effet, soit M/ le point où se coupent les isogonales des droites AM, BM, et soient X, Y, Z, X/, Y/, Z/ les projections des points M, M/ sur les côtés du triangle ABC. La circonférence décrite du milieu de la droite MM/ comme centre et passant par Z et Z/ contient les points Y, Y/, X, X/ (N.,9, a"). Comme elle est complètement déterminée par les trois points X, Y, Z, le point M/ est aussi situé sur Fisogonale de CM.
3* et 4*. Ces propriétés résultent immédiatement de (N.,9, i" et 3*).
SCOLIB.
il. Les points M, M/ sont dits inverses ou conjugués isogonaïuc par rapport an triangle ABC.
1^8 contres I, ïa, U, le des cercles tangents aux trois côtés de ABC sont, chacun leurs propres inverses.
L'ortliocentre H et le centre 0 du cercle circonscrit {Jig, 5) sont des points inverses; car, la tangente en A îi ce cercle et le côté BC étant anliparallèles par rapport à Tangle BAC, la hauteur AH et le rayon AO sont des lignes isogonales. Il suit de là que les milieux des côtés et les pieds dos hauteurs do ABC sont sur une môme circonférence.
V inverse d'un point M de la circonférence circonscrite à un triangle c^t à l'infini sur la direction pcr/ cndiculairc à la droite de Simwn (169, II**) de ce point. En olï'cl, celte droite est perpendiculaire à Tiso- Konale do chacune des droites A.M, HM, CM.
(') Mous oppelons triangle podaire d'un point M, par rapport à un triangle ARC, le triangle XYZ qui a pour sommets les projections de M sur les côtés de ABC; inversement, lé trianfrle ABC est uppelé le triangle nntipodaire de M par rapport au triangle XYZ.
4io
TRIANGLES ORTHOLOGIQLBS.
THÉORÈME
12. Si les perpendiculaires menées des sommets d'un triangle ABC sur les côtés correspondants d'un triangle A]BiGi se coupent en un ntéhie point D, les perpendiculaires menées des sommets du triangle AiBiCi sur les côtés correspondants de ABC concourent aussi en un même point Di,
II suffit d'établir cette proposition pour un triangle homothétique à AiBiCi. Voici trois figures où elle s'aperçoit immédiatement.
i* Soient, par rapport au triangle ABC, D/ l'inverse de D, et X/Y',Z/ le triangle podaire de D/ (fig. lo). Les droites AD, BD, CD sont por-
Fip. 10.
|)cndiculaires aux côtés du triangle XYZ, et les droites D/X/,D/Y/, D,Z/ sont perpendiculaires aux côtés du triangle ABC.
a* Soient A2,B|.[Cs, D2 les centres des cercles circonscrits aux triangles BCD, CDA, DAB, ABC {fig, 11). Les côtés du triangle AtB,Ci sont perpendiculaires aux milieux des droites DA, DB, DC, et les droites DiAi, D.2R2, DsCj sont perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle ABC.
>" Construisons le triangle polaire de ABC par rapport à une circonré< renco décrite de D conmie centre avec un rayon quelconque d(fig, \i ), A cet effet, nous déterminons sur les droites DA, DB, DC les points >i\ y, Z' satisfaisant aux égalités
DA . DX' = DB . DV = DC . DZ' = r/«,
ot nous menons en X', Y', Z des perpendioilaires sur DA, DB, DC: ces perpendiculaires sont les côtés du triangle cherché A'B'C. Ou bien, nous abaissons de D des perpendiculaires DX, DY, DZ sur BC, CA, Ali
FIg. II.
cl nous déterminons sur ces droites les points AS B', C par les conditions
lO DX.DA- DV.DB'-=DZ.DC'- d>.
SCÔLIE.
13. Les triangles ABC, A|BiCt sont dits orthologiques. Le théorème (N., là) est susceptible de Ténoncé suivant qui en fait mieux ressortir le véritable caractère ;
»V/ l'on considère une figure composée d'un triangle ABC et de trois rayofis vecteurs AD, BD, CD, on peut toujours construire une seconde figure composée d'un triangle AiB\Ct dont les côtés sont perpendiculaires atix rayons vecteurs AD, BD, CD, et de trois rayons vecteurs At D|, B| Df , CtD| perpendiculaires aujc cotés du triangle ABC.
Faisons tourner la Ggure AiB|C|Di d'un angle quelconque dans son plan ou rotournons-Ia dans son plan; nous aurons le théorème suivant:
9UTE III
Etant dotiffAt d^im un me'fie f '*>u Jeui «^'uuitxin^es compleis , JM'.D, A|B|CtD|. *i c/Nf côu-s tiu prmuer ton #AYr ies eûtes opp^*^ • iùi ***cond le tuvme au^le a, f^t «x Uurs di^:<îiont sont syjmrtrHfUt'^ par rapf/O^t « un même ajcr. de< d-rec:.t>u des côtes opposes du vrc/jnd. il ejriite la même reUi:i*'n entre let nxUniet ci^e'<.
\j^ qîiaJrdni'>5 ABU). A,B.r|l>i c-»n^: lerés ici, s<.»ot dits mêtup*>- Utire<. Si on l*sx plaie dans un mt't'éC plein de mtinicre que deujc ie»//*met* de rm'me nom^ par erempe A et Ai, C'ûncident et que let rt>/» » oppoxf's ^oirnt perprta^iculairet, lex triani^fef former par les tonuncf* reitan/9, BCD rt BiCiDf. de\ îennent polaires rêciprotptes par rapport à un certain cercle dririt du <f:mnrt commun A comme centre.
Fi
Lof*. 6^'alitos ( i) et (jt) ( N.. {"2 > donnent la propriété suivante : Let distances d'un sommet A ilu premier quftdrangle aux sommets et aujr cô^ tes du triangle BCI) sont inversement proportionnelles aujc eiis tances du sommet A| de même nom du .second quadranf^le cmx côtés et aux som^ mets du triangle HiCiL)].
MÉTAPÔLES DE DELX TRIAMiLES. — POINTS JUHEAl'X.
I i. Nous appelons métapôle d'un triangle ABC par rapport à un
(*) (n tjuadrangU complet est la figure délcrrnincc par quatre points A, U, C, 0. (^'s points sont les sommets, et les droites qui les joignent doux à (liMix sont les rtirés du qtiadranj^lo. Les crttês se partaçent en trois couples de nUt's oppotâs, à savoir AB et CD, AC et BD, \D et BC.
I.cs côtés opposés de deux quadran^les desi{;nés par ABCD, A'B'C'D' sont ABel CD', ACet BD'. etc.
GÊOMÉTRIB DU TRIANGLE. 443
autre triangle AiBiGi, un point D du plan ABC duquel on voit les côtés du triangle ABC sous des angles égaux aux angles ou aux suppléments des angles du triangle AiBiCt.
Pour voir comment le point D se déplace lorsque la forme du triangle AiBiCi varie, nous renversons la question. A cet effet, nous supposons lo point D successivement dans les dilTérentes régions dans lesquelles Itî plan ABC est partagé par les côtés du triangle ABC (N.,4), et nous construisons un triangle A'B'C ayant ses côtés parallèles aux droites I)A, DB, DC.
Lorsque le point D est intérieur au triangle ABC (/?§'. 1 3), on peut mener les côtés B'C, C'A', A'B' du triangle auxiliaire parallèles à DA, DB, DC et dirigés dans le môme sens; les triangles ABC, A'B'C ont donc même orientation. D est à rinlerscction dos arcs de trois segments capables dos angles 180" — A', i8o« — B', 180° — C, construits surBC^CA, AB
Fi;ï. l^^
et tournés vers l'intérieur du triangle ABC. L'angle BDC étant plus j,'rand que BAC, on a 180°— A' > A, ou A -4- A' < 180"; de mémo, B4-B'<i8o", C-t-C'<i8o\
SoilD u n point do la région i', et soit D a le prolongement de .VD(/J^, 14 ). f.e triangle A'B'C peut être construit de manière que ses côtés B'C, r/A', A'B' soient dirigés dans le même sens que les droites Da, DB. DC; los sens de rotation ABC, «BC étant identiques, les triangles A' B'C, ABC ont encore même orientation. Les angles BDC, CDA, ADB étant égaux à iHo" — A', B', C, on peut encore dire que les circonférences des segments capables des "angles 180* — A', 180° — B', i8o° — C, construits vSur BC, CA, AB et tournés vers l'intérieur du triangle MM\ se coupent en D. L'angle BDC est plus petit que BAC, d'où A-+-A'>i8o°. On trouve, de la môme manière, que pour un point de la région 7,' ou 3', on a respectivement B h- B' > 180", C -f- C > iBo**. D'ailleurs, une seule (les sommes A -+- A', B -f- B', C -f- C peut surpasser 180°.
Enfin, considérons un point D situé dans la région i {/fg* i5); appelons
444 NOTB lU.
Da le prolongement de AD. Le triangle auxiliaire A'BX' peat avoir ses côtés B'C, C'A', A'B' dirigés dans le même sens que les droites Da, DB, DG. Les sens de rotation ABC, aBC étant différents, les triangles ABC, A'BTi' sont de sens contraires. Les circonférences DBC, DCA, DAB appartiennent aux segments capables des angles A', B', C construits sur les côtés du triangle ABC vers Tintérieur. Suivant que le point D est intérieur ou extérieur au cercle ABC, on a A — A' > o, B — B' < o, C — C < o, ou A — A' < o, B — B' > o, C — C > o. Des inégalités analogues s'appliquent aux points des régions 2 et 3.
De cette analyse, on tire les conclusions suivantes :
i"* Étant donnés deux triangles ABC, AiBiCi, les circonférences des segments capables des angles 180**— Ai, 180**— Bi, 180^ — Ci, construits sur BC, CA, AB vers l'intérieur de ABC, se coupent en un même point D tel, que, le triangle ayant ses côtés parallèles à DA, DB, DC est semblable à AiBiCt et de même sens que ABC. Ce point est intérieur au triangle ABC, si les trois sommes A + Ai, B + Bi, C h- Ci sont inférieures à iSo"*; il tombe, respectivement, dans les régions 1', i\ 3', si Tune des sommes A -^ Ai, B -4- Bi, C -+- Ci est supérieure à 180*.
Fig. 14.
Fi(j. i5.
'2" Les circonférences des segments capables des angles Ai, Bi, C| construits sur BC, CA, AB vers Tintérieur de ABC, se coupent en un même point E tel, que le triangle ayant ses côtés parallèles à DA, DB, DC est semblable à AiBiCi et de sens opposé à ABC. Ce point appartient à la région i , si la différence A — Ai a un signe contraire à celui des différences B — Bi, C — Ci ; et alors il est intérieur ou extérieur au cercle ABC suivant que le signe de A — Ai est -h ou —, etc.
15. Un triangle ABC a donc, par rapport à un autre tiiangle A] BiCi, deux métapôles D^ E; pour les distinguer, nous dirons que D est le
GÈOMfiTRtB OU TRIAN6LB.
premier métapôle, E le second métapole» Touiofois, lorsque les triangles sont semblables, le premier métapOle est roribocenti-e de ABC, et lo second est un point quelconque de la circonférence ABC ; il résplte de là qu*/4A triangle A'B'C dont les côtés sont parallèles aux droites joi^nfixt les sommets d'un triangle ABC à un point quelconque de la circonférence ABC, est inversement semblable au triangle ABC.
Soient {fig. i6) «, p, y les secondes rencontres des droites AD, PD, Cl) avec lea circonférences BDC, COA, APB. D* après la dornière remarque,
Fî{f. ï6. ■
loa triangles «BC, A^C, ABy sont inversement semblables au triangle dont les côtés sont parallèles à DA, DB, IXj. D*où ce théorèmo :
Si, sur les côtés don triangle ABC, on construit vers l'extérieur les tria/tgles aBC, ApC, AB^ semblables à un triangle donné A,B,C,, les droites Aa, B^, Cy X6 coupent au premier métapôle D des triangles ABC, AtfiiCi. Si l'on construit les triangles a'BC, Ap'C, AB^' ^ewi-
(\(fi NOTE 111.
bUihles à AiBiCi et tournés t'crs l'intérieur de ABC, les droites Aa\ Bp', Cy' concourent au second métapâle E.
16. Ce théorème nous conduit aux expressions des coordonnées des métapôles. Soient, en effet, x, j, z les coordonnées normales de D ; menons a F, a L perpendiculaires à AB, AC. Nous aurons {^g, i6)
X __olL ^ aCsin aCL ^ :; "" «F " aBsinaBF' or
aCL = 180° — (G H- Cl), «BF = 180" — (B + B,),
donc
On conclut de là
aC sinaBG sinBi aB ~" sinaCB "" sinCi
r sinBi sin(C -h Ci) z ~~ sinCi sin(B -f- Bi)
sinÂi sinB] . sinCi
sin(A H- A,) ' 8in( B -f- B,) * sin(C -f- C,)
Les coordonnées bar y cen triques de D sont proportionnelles à a.r, ùj^y cZy ou à
sinAsinAi sinBsinBi sinCsinCt
sin(A-f-A,)' 8in(B-f-B,y sin(C4-C,)'
ou encore à
cotA-4-cotAi' cotB-f-cotBi ' cotC -+- cotCi *
Pour celles du second métapôle E, on trouve
cotA — cotAi' cotB — cotBi' cotC — cotCi *
Soient Di, Ei les métapôles du triangle AiBiCi par rapport au tri* angle ABC. Les expressions précédentes montrent que les points D, D, ont les mêmes coordonnées barjrcentriquef, l'un dans le triangle ABC, l'autre dans le triangle Ai B| Cj ; les points E, E| jouissent de la même propriété'.
Les métapôles D, Di appartiennent toujours à des régions corres> pondantes des triangles ABC, AiBiCi; il en est de même des métapôles E, El, avec cette particularité que l'un est à l'inlérieur et Tautre à l'extérieur du cercle circonscrit au triangle correspondant.
Les quadrangles ABCD et AiBiCiDi sont métapolaires.
17. Entre les points D, Ë, il existe une relation remarquable : les deux faisceaux D (ABC)» E (ABC) sont symétriquement égaux. Deux points ainsi associés par rapport à. un triangle ont reçu le nom de points jumeaux.
CENTRES MÉTAQARMOMQUKS DE DEUX TRIANGLES. POINTS TRIPOLAIREMENT ASSOCIÉS.
18. Étant donné un triangle ABC, si sur les rayons vecteurs DA, DB, DC issus d'un point D choisi arbitrairement dans le plan, on prend des segments DA|, DB|, DCi tels que
DA.DA, = DB.DB, = DC.DCi,
les triangles ABC, AtBiCi sont dits métaharmoniqiies par rapport à D. Si l'on ne considère que la forme du triangle AiBiCi, on prendra pour les points At, Bj, Ci les secondes intersections des droites DA, DB, DC avec la circonférence ABC. L'axe d'homologie des deux triangles est alors la polaire de D par rapport à cette circonférence, et divise, avec le point D, les segments AAi, BBi, CCi harmoniquoment. Si D est sur la circonférence, les points Ai, Bi, Ci sont en ligne droite (388).
TUÉOBÈME.
19. I* Le triangle méta/iarmoniqne XiBiCi et le triangle podaire XYZ d'un triangle ABC par rapport à un même point D sont des figures directement semblables ; 2° Les côtés de ces triangles sont proportionnels aux produits des côtés opposés du quadrangle AB(^D ; 3** Leurs angles sont donnés, en grandeur et en signe, par les formules
l YXZ-=B,A,C, -^BDC — BAC, ( I ) I ZYX = C, B, Al -= CDA - CBA,
( XZY = A, C, B, - ADB - ACB.
Dans l'énoncé et la démonstration de ce théorème, nous observons les conventions établies aux n*** 30 i et 305 : YXZ, par exemple, désigne l'angle dont il faut faire tourner la demi-droite YX pour la faire coïncider avec la demi-droite YZ, cet angle étant considéré comme positif ou comme négatif, suivant que la rotation s'effectue dans un sens ou dans l'autre ; de plus, deux angles qui diffèrent d'un multiple de 21: peuvent se substituer l'un àTautre. Avec ces conventions, si A, B, C, D sont quatre points d'une môme circonférence, on peut écrire angle ACB = angle ADB, mémo dans le cas où C et D sont situés de part et d'autre de la corde AB.
1^ Les quadrilatères inscriptibles DXBZ, DXCY, ABAiBi, ACAiCi
44^ ^OTB m.
donnent angulai rement
^^ ( DXZ = DBZ = lii B A = B, A, A.
En soustrayant la première égalité de la seconde et observant que
DXZ - DXY = YXZ, BiAiA — CiA,A = BiA,Ci,
on trouve
YXZ = B, A, Ci;
par analogie,
ZYX = CjB, A, et XZY = AiC,Bi.
Les triangles AiBiCi, XYZ sont donc directement semblables.
On peut encore conclure, des égalités (2), que le point D rapporté à Tun des triangles semblables XYZ, AiBiCi, a pour homologue dans Fautre triangle son inverse pris par rapport à ce dernier.
2* Désignons par |jl le produit DA.DAi, par «, b^ c les côtés de ABC, par a, p, y les distances DA, DB. !)G. Nous aurons (386)
par conséquent
BiCi Cl Al A] Bi \L
ai b'^ C'Y «i^Y
Soient 0 le centre et R le rayon du cercle ABC. Le milrcu 0' de AD étant le centre d'une circonférence passant par les points A, Y, Z, D, les triangles YO'Z, BOC sont semblables; d'où
YZ YO^ BC "" CO ' de sorte que
YZ^ZX^XY ^ j^
ai~ ifl ~ ^Y ^^
3° Des égalités (2), on déduit
( 3 ) DXZ - DXY = DBZ - DC Y.
Or, si A, 6, c, d désignent quatre semi-droites (i08), on a ridenlilé
angle ab — angle cd = angle €ic — angle bd,
qu*on vérifie aisément en rapportant les angles à une môme droite-origine. En l'appliquant au second membre de la relation (3), on obtient
yXZ = BDC — BAC.
GfiOMfiTtU 00 TRUX6LB.
SCOLŒ.
20. i* Le théorème précédent renferme celte propriété importante du quadrangle complet, dont nous ne pouvons donner ici que l'énoncé : A, B, C, D étant quatre points d'un même plan, on a VéquipoUence
AB.CD-f-AD.BC-+- AC.DB = o;
autrement dit, lex produits XB .CD, AD.BC, AC.DB sont équipollents aux trois côtés d'un triangle,
2** Appelons triangle associé à un quadrangle complet le triangle dont les côtés ont pour valeurs numériques les produits des côtés opposés du quadrangle. On voit que ce triangle est semblable à chacun des triangles podaires ou métaharmoniques de Tun des sommets du quadrangle par rapport au triangle des trois autres sommets. Au n"" 240^ il a été donné une autre construction d'un triangle semblable au triangle associé.
Nous laissons au lecteur le soin de démontrer le théorème suivant :
La forme du triangle associé à un quadrangle complet ne change pas , si l'on soumet les sommets de ce quadrangle à une transformation par rq)'onf vecteurs réciproques,
3* Soient Sa, S^, S^ S</ les aires des triangles BCD, CDA, DAB, ABC, et soient {i^i, (jl^» h^c» Ki/ les puissances des cercles circonscrits à ces triangles, respectivement par rapport aux points A, B, C, D; enfin, désignons par T l'aire du triangle associé au quadrangle ABCD, c'est-àdire la quantité (428)
- /(r/ « -+- 6 p -f- c Y )( — r/ a -f- /;p H- r Y )(« a — ft Ji -h r Y ) (rt a H- ^p — t*Y ). Nous avons trouvé ci-dessus (N.,i9) les relations
11 en résulte que
BiC| C|^ __ AjBi __ \xd ^
ai.
Bi(î| .(it Af .A| Bi (x'r/
ahc "" a^^'Y*
Les triangles ABC, AiBiCi étant inscrits dans le môme cercle, la proposition du n* 428 (i") donne
aire AiBtCi
fJi'i/
Les relations (4) donnent encore ... aire Al Bt Ci /B,C,\« jx»,/
R* et Di G. — 7V. de Géom. (1» Partie). ag
45o • NOTB m.
En combinant les égalités (5) et (6), on voit que
T = JlaSa = {X^Sa = flcSc = fXrfSrf.
Les équations (7) sont dues à von Slaadt(y. de Crelle^ t. 57, p. 88.)
21 . Nous appelons centre mêtaharmonique de deux triangles ABC, A'B'C, un point D du plan ABC, tel que le triangle mêtaharmonique ou podaire de ABC par rapport à ce point soit semblable à A'B'C.
Soit D,- l'inverse (N.,9 et suw.) du point D dans le triangle ABC; les côtés du triangle podaire de D étant perpendiculaires aux droites AD,-, BD/, CD/, D/ est le métapôie (N.,14 et mV.) de ABC, A'B'C.
Désignons par D/, E/ les deux métapôles des triangles donnés ; les inverses D, E de ces points dans le triangle ABC sont les centres metaharmoniques de ABC, A'B'C.
Le premier centre mêtaharmonique D est à l'intérieur du cercle ABC ; on peut le déterminer par l'intersection des circonférences des segments capables des angles A -h A', B -h B', C -i- C décrits sur BC, CA, AB vers l'intérieur du triangle ABC (N., 19, 3"). Si la somme A -f- A' est supérieure à 180*, le point D se trouve dans la région 1 (N., 1 ) et le segment décrit sur BC est capable de l'angle A -\- M -— 180*.
Fi(j. 17.
Le second centre mêtaharmonique E est à Textérieur du cercle ABC. Il appartient aux circonférences des segments capables des angles A — A\ B — B', C — C décrits sur BC, CA, AB vers l'intérieur du triangle AEG, Si la différence A — A' est négative, on décrit sur BC, vers Textérieur du triangle ABC, un segment capable de l'angle A'— A.
GÊOMÉTRIR DU TRIANGLE.
Le triangle métaliarmonique et le triangle podaire du premier centre D par rapport au triangle ABC sont de même sens que ce dernier; ceux du second centre E ont une orientation différente.
THÉORÈME
22. Soient D, E les deux centres méta/iarmoniques du triangle XBC par rapport au triangle A'B'C (y%. 17) : i* L^s rajons vecteurs de D sont proportionnels à ceux de E ; 2° Les points D, E dii'isent harmoniquement un même diamètre de la circonférence ABC.
!• Soient XYZ, X'Y'Z' les triangles podaires des points D, E. On a
rt.AD
VZ =
n VF
L = JT— ?
d'où
^ Al) BI) CI) VZ" AÉ~ BECb:
/• Soient P, Qi/'J;. 18) les points qui divisent le segment DE harnio-
niqoement dans le rapport r;?^- La circonférence décrite sur PQ comme
diamètre passe par A, B, C ( f87).
23. r Les droites deSimson, X^W/el \'^\"''r (fit;. 18), des points P
Fi(j. 18.
olQ par rapport au iriaoglo ABC divisent les segments XX', VV. ZZ\ addi-
DP ZV
Uvement et soustractiveraont, dans le rapport =^5 — y7'> ^'^cce sonl
les droites cfoubles dos triangles inversement semblables XY'Z, X'FZ'; leur inlerseclion F est le point double de ces triangles. On peut déaion> trer que F est au milieu de la dislance des points D/, E/, inverses de D, E par rapport au triangle ABC, et qu'il appartient à la circonférence des neuf points.
7? Trouver, dans le pian du triangle ABC, un point dont les distances aiLC sommets soient proportionnelles auj: nombres donnés /, /w, //.
Ce problème, d'après ce qui précède, admet pour solutions deux points qui divisent harmoniquement un diamètre du cercle ABC ; on parvient au môme résultat en appliquant le lieu géométrique du n' 187.
En effet, soient {Jig, 19) L, L' les points qui divisent le côté BC barmoniqucment dans le rapport m : /i, et soient N, N' les points qui divisent AB harmoniquement dans, le rapport / : m. Les circonférences décrites sur LL' et sur NN' comme diamètres se coupent en doux points D et E (réels oti imagina ires), qui résolvenf le problème proposé.
Fijj. i().
Comme elles sont oribogonales à la ciroonférenoe ABC (383), lonr corde commune passe par le centre de cette courbe et est divisée barmoniqucment par cotte ligne.
GÉOMÉTHIE DU TRIANGLE. ^o3
Soient M, M' les poliils qui partagent CA dans le rapport n : l. Los droites AL, BM, CN se coupent en un môme point P qui a pour coordonnées barycentriques j» — ? - ; les points L', M', N' sont situés sur une
même droite/?, polaire trilinéaire de P* Les cercles qui ont pour diar mètres respectivement LL', MM', NN' ont même axe radical DE; leurs centres L", M", îs\ d'après une propriété des divisions harmoniques, divisent BC, CA, AB dans les rapports /w' :/ï«, /<*:/*, /*:/«*; la droite L' M'N' est perpendiculaire au milieu du segment DE, et a pour coordonnées /*, //«*, /**.
24. Deux points D, £ dont les distances aux sommets du triang^le fondamenlai sont proportionnelles aux mômes nombres, /, m, /i, sont dits tripolairement associés par rapport à ce triangle.
STMÉDI AN BS (*).
â5. Soient A', B',C' les milieux des côtés du triangle fondamental ABC. Les isogonales des médianes AA', BB', CC sont appelées Sjymédianes du triangle ABC; elles concourent en un même point K, inverse du centre de gravité G (N., 10); K est le centre des sjrmédianes^ ou le pobit de Lemoine{^) de ABC.
La xj médiane AK est le lieu des milieux des transversales tuitiparallèles à BC par rapport à l'angle BAC (^g. o-o). Car, si l'on retourne le triangle BAC autour de la bissectrice AI, BC devient antiparallèlo à sa direction primitive, et AA' coïncide avec AK.
Les conjuguées harmoniques des sjmédianes AK, BK, CR par rapport aux angles A, B, C du triangle fondamental coïncident avec les tan» gentes menées par A, B, C au cercle circonscrit. Cette propriété résulte de la précédente; car les tangentes sont parallèles aux transversales antiparallèles (338).
Désignons par KaK^Kc le triangle formé par les tangentes, par Ki, K|, K» les points de rencontre des symédianes AK, BK, CK avec BC, CA, AB. Les points Ka, K^, Kc, pôles des cordes BC, CA, AB du cercle ABC, senties associés de K(N.,6); les triangles ABC, KaK^Kc, K1K1K3 ont, dQux à deux, le môme axe dliomologie kikfk^. Cet axe est la polaire trilinéaire de K; on l'appelle souvent droite de Lemoine de ABC.
(*) Maurice d'Ocagne, NouvelUê AnnaUê de Mathémaiiqueêy i88j.
(') Kmile Lemoine, AisociaUon françaite pour l* Avancement de% Sciences, CoDgrèt de Lyon, 1873, et Nouvelles Annale* de Malhématùiues, 1873.
Lee nombreux traveux de M. E. Leroolne permeUeiit de le regarder comme riiiiliateur de la nouvelle Géométrie du triangle*. Il n cal qoc juste de citer, à côté de lui, MM* H. Brocard et J. Neubcrg.
4o4 ' NOTE m.
La polaire trilinéaîre de K est aussi la polaire de ce point par rapport à la circonférence 0. Car le pôle de la droite AK, par exemple, étant à rinlerseclion des polaires des points A, Kaj les points A:t, Ai, As sont les pôles des symédianes, et la droite kik^ki est *la polaire du centre des symédianes.
On conclut de cette propriété que la polaire de K eu perpendîcu-
RI
Imre à la droite OK et que sa distance an centre 0 est égale à jri^ •
26. Les coordonnées normales de G étant égales au tiers des hauteurs du triangle |ABC, '/eç coordonnées normales absolues de K sont
-Xn,-A6,-Xc(N.,'lO), X ayant la valeur
Pour déterminer le facteur X, nous avons remplacé, dans Tidentité ax -f- bj -+- C2 = 2S, les quantités x, j, z par - Xr/, - X/>, - Xr • On peut observer que
//a, //fc, hc désignant les hauteurs de ABC.
Les coordonnées normales de K étant proportionnelles au\ côtés de ABC, K est le centre d'homotliétie de ABC et du trUniglc formé par leji côtés extérieurs des carrés construits sur BC, CA, AB en dehors du triangle ABC.
Des expressions de ces coordonnées, on conclut encore que les coord(kinées har/centriques de K sont proportionnelles à a*, Z^*, c* ; donc une sjrmédiane d'un triangle partage le côté correspondant dans le rapport des carrés des côtés adjacents,
K est le centre de gravité de son triangle podaire XYZ. En effet, les triangles KYZ, ABC, dont les angles YKZ, BAC sont supplémentaires, sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent ces aAçles(437); d'où
aire KYZ = i X» S el, par analogie, KZX == KXY -^ 7 X«S. 4 4
f^ démonstration de ce théorème résulte également de la remarque suivante, souvent utile : Étant donné un triangle quelconque ABC, on peut toujours construire un second triangle dont les côtés et les mé^ dianes sont, respectivement, parallèles aux médianes et aux côtés du premier triangle; si G' est le centre do gravité du triangle A'BC (fg* 3 ), le second triangle est CGG'. Il S'.iffii maintenant d'observer que les côléji
GÉOMÉTRIB DU TRIANGLE. 4^5
du triangle XYZ sont perpendiculaires aux médianes de ABC, et que les droites KX, KY, KZ sont perpendiculaires aux côtés de ABC.
PROBLÈME
27. Trouver cUuis le plan d'un triangle ABC un point P (fig. 19) dont la somme des carrés des distances Xj jr^ 9, aujc côlés du triangle soit minimum.
Menons par le point cherché P une parallèle VC à BC ; P doit être le point de cette parallèle qui rend minimum la somme r* + 2'* Or, on a l'identité
(Ib^* 4- ÂC'*j 0'* •+- 5«) x= ( AB'.5 -H AC'./)» H- ( AB'..>- - AC'.3)«,
et comme la quantité AB'.:; -f- AC'.r a une valeur constante, égale au double de l'aire AB'C, le minimum de/'H- 2* correspond à la relation AB'.j — AC'.s = o;d'où
r ^ AC ' ^ h
^"z ^ AB' " c *
Donc AP est une symédiane du triangle ABC. Ou verrait de la môme manière que le point cherché se trouve sur les deux autres symédianes; il se confond donc avec le centre K des symédianes.
28. Le point K est à l'intersection des droites joignant les milieux des c<Ués du triangle ABC aux milieux des hauteurs correspondantes (fig* ao).
En effet, en joignant le milieu A' de BC aux points A, Ki, K, Ka, 00 obtient an faisceau harmonique ; les trois premiers rayons interceptent sar une parallèle AH| au quatrième rayon A' Ka des segments égaux (338)»
29. Soient X\ Y', Z' les symétriques, par rapport à K, des projections de K sur les côtés du triangle ABC. Ces points sont les centres des symédianes des triangles AHiHi, BH9H1, CHfHi, en désignant par HiHsHi le triangle orthique de ABC {J!g, 20).
Puisque A'R passe au milieu de AHt, X'est situé sur la médiane AA'. La symédiane AKi de ABC passe au milieu V de Tantiparallèle HtR»; de même, la médiane AA' de ABC est une symédiane du triangle AH^Ha ; Boit U le point où A A' coupe HtH|. Les droites BC, HiHt, antiparallèles par rapport à Tangle BAC, sont aussi antiparallèles par rapport à Tangle KiAA' qui a la môme bissectrice; le quadrilatère KiUVA' est donc ioscriptible, et comme A'V est perpendiculaire à HtH|(A'est le centre de la circonférence BHaHiC), KiU est perpendiculaire à BC. U en résulte que les points K, X' divisent dans le même rapport les symédianes AKtt AU des triaaglfis semblables ABC, AHilU; donc X' est le centre dos symédianes de AHt lU.
KOTB m.
SCOLIE
Le pouit K a les mêmes coordonnées barycentriques dans les deux tr'uingles ABC, HiIIjHs {fig. 20). En effet, dans le trapèze AHiKitJ, K est le milieu de la parallèle XX' aux deux bases, et, comme H est situé sur la diagonale ARi, la seconde diagonale passe par R. Donc HiR passe par le pied U de la symédiane AX' du triangle AHsHs.
30. Appelons a, ^, y les secondes intersections des symédianes AK, BK, C)K avec la circonférence ABC.
Le faisceau harpaonique ACBCKK^) rencontre la circonférence ABC en quatre points B, C, a, A, dont le rapport anharmonique = — i (32i). A cause de cette propriété, le quadrilatère ABaC est dit harmonique. De même, BC^AetCÀylS sont des quadrilatères harmoniques.
• Fi0* 30.
Les perpendiculaires abaissées de a sur AC, AB sont proportionnelles À AC, AB; comfne|ell68 forment des triangles semblables avee «C, «B,
on trouve aisément
GÉOMÉTRIE DU THUNGLE.
AB.ŒC = AC.aB=4-Aa.BC.
Aa est une symôdiane des triangles ABC, aBC; BC est une symédiane des triangles BAa, CAa. Il suit de là que les distances de UntersectioQ des diagonales d*un quadrilatère harmonique aux quatre côtés sont proportionnelles aux longueurs de ces côtés.
31. apY 6St le triangle métaharmonique de ABC par rapport à K ; donc il est semblable au triangle podaire XYZ de K, et ses côtés sont proportionnels aux médianes d^ ABC.Kétant le centre de gravité deXYZesile ceritre' «les syraédianes de a^y (N.,26). co que Ton peut aussi démontrer directement.
CENTRES ISOGONES ET CENTRES ISQ^YNAMIQUËS.
32. Il existe, dans le plan d'un triangle quelconque ABC, deux points U, U', d'où Ton voit les trois côtés sous des angles de lao** ou Go**; ce sont les métapôles du triangle ABC par rapport à un triangle équilatéral (N.,14). Nous appelons ces points centres isogones de ABC.
Construisons (>7^. 2 1 ) sur les côtés de ABC, vers lextérieur, les triangles
Fig. 21.
équilaléraux BCui, CAiii, ABri»; et, vers rintériear, lés triangles équl<
40B ^'QTK III.
latéraux BCu\CAu'^y ABu'^. Les droites A e^i, But, Gus concaureot eo U; les droites Am',, Ba',, Cu^ en U'.
Les coordonnées barycentriques de U et U' sont
col A :': /3 col B rz /3 colC ±: /i
33. Lorsqu'aucun des angles A, B, G ne surpasse lao*', le point U tombe à rintérieur du triangle ABG (Jig. ai). Dans ce cas, il jouit de la propriété de rendre minimum la somme des distances d'un même point aux sommets du triangle de référence. En effet, désignons par Ni Ni N, le triangle antipodaire de U par rapport à ABG ; ce triangle est équilatéral et ses sommets appartiennent aux circonférences BCui, GAu*, ABiij. L'angle UGN] étant droit, UNi est un diamètre du cercle BGui; par suite, Tangle UuiN] est droit et la droite Ni ux est parallèle à NtNs. Ainsi, les droites kuiy Bu], Cuz sont égales à la hauteur du triangle NiN^Ni. Soient VVi, VVs, VVi les perpendiculaires abai93éea d'an point intérieur V sur les côtés de N1N1N3. La somme Wi -h Wj -+- VVs est toujours égale à k hauteur de Ni NtNs; par conséquent
UA -f- UB -f- UC = VV, -+- \\t -+- VVs < VA H- VB -h VG.
Si le point Vest à rextéricur, on a, par exemple,
UA -h UB ^ UC = VVi — VVs — VVs < VA -h VB h- VG .
La propriété énoncée est donc démontrée.
La discussion complète du problème de trouver le minimum de rh VA ± VB ± VG ne saurait trouver place ici (* ).
34. Lorsque l'angle BAG est plus grand que lao*", U tombe dans la région T, et l'on a UB 4- UG — UA = Aui. Lorsque les angles B et G du triangle ABG sont tous deux inférieurs à 60* ou tous deux supérieurs à 60", le point U' tombe dans la région i et Ton a, respectivement, UB-4-UG — UA = ±Am'i.
Galculons les longueurs Ai/i = .r, A</| = /. En appliquant au triangle Xuiu\ les théorèmes 230 et 231, nous aurons
j«-f-A't = 2AA' H-9.A'w, , *« — y*=:4A'wi.AHi, ou, à cause de ^* h- c* = 2 A A' -h -«* > A'«i = -«/i,
f« ^ ^1 = et' -h /y«-+-r», s^ — a'« = 4S /3 ;
(') yoir J. Bertrand, Journal de iJouville^ t. VIU.
GfiOMÊTRlB DU TRIANGLE. 4^9
par conséquent
a*» = «« -4- />« H- c* -h 4 S/â, Xi» = a» -i- ^« -H c» -- 4 S/B.
35. Soient(//^.2i)W, W'Ies inverses des centres isogones U,U'clans le triangle ABC. Ces points sont les centres métaharmoniques de ABC par rapport à un triangle équilatéral, c'est-à-dire que les triangles podaires et les triangles métaharmoniques de W et W sont éqtiilatéraux. Il résulte de là que
/?. AW =3 ^.BW = r,C\V. /i. AW :»= ùMW ^ r.i;W',
A cause de ces relations, les quadrangles ABCW, ABCW sont dits iso-
djnamiques, et les points W, W sont appelas centres isodr/ia/Niqucs
du triangle ABC.
Comme on a
BVV BA ^ BW;
cw ~ (:a""(:w''
les points W, W appartiennent à la circonférence qui a pour diamètre la distance Ii /i des pieds des bissectrices, intérieure et exUâricurc, de l'angle opposé; cette circonférence coupant orthogonalement celle qui est circonscrite au triangle ABC, son centre est au point Ai (383, 33â). Donc ies trois circonférences qui ont pour diamètres les segments l'i ï|, ij Ij, l'sla compris entre ies pieds des bissectrices se coupent mur centrer isodrnamiques W, W ; leurs centres sont sur la polaire de K. On en conclut que W, W sont sur le diamètre OK, que le milieu du segment WW appartient à la droite OK, et que OW.OW'= BV
Sgolib*
Les cercles \\\iu Blt'i, Cla/j ont reçu le nom de cercles d'Apollonius du triangle ABC. Leurs cordes communes avec le cercle ABC son' dirigées suivant les symédianes AK, BK, CK, polaires de leurs centres ^tr ^ti Aj par rapport au cercle ABC.
POINTS, CERCLR BT TRIANGLES DE BROCARD (^).
36. Soient A^ B', C les milieux des cotés du triangle fondamental AB(i; 0, lo centre du cercle circonscrit; K, le centre des sym(^dianos.
(') H. Brocord, youvelieê Annalei de Ma*hématîqur9y 1875; Nouvelle eor* rtipondétnee mathimatiqne^ i^77t 1879, 1880; Àtsoeialion françaite pour VAvanetineni des Seiencetf Con^è« d'Alger, 1881.
J. Noiib'rg, Mathesfs, |HR|.
46o NOTK lil.
Le cercle décrit sur la droite OK comme diamètre a reçu le nom de cercle de Brocard; nous le désignons par cercle (OK). Soient Ai, Bi, <'i les points où il rencontre les médiatrices 0A\ OB', OC, et soient As, Bj, Cj, ses points d'intersection avec les symédianes AK, BK, CK. Les triangles AiBiCi, AsBiCt sont dils, respectivement, le premier et le second tricuigle de Brocard de ABC {J!g. i%),
Les droites KAi, KB,, KCi étant perpendiculaires à OA', OB', OC', les segments Ai A', BtB\ CiC sont égaux aux coordonnées normales absolues de K, et par suite proportionnels à BC, CA, AB. Donc les triangles isocèles AiBC, BiCA, CiAB sont semblables. L'angle à la base de ces triangles, que nous désignons par V, est Xangle de Brocard de ABC.
Le triangle Al A'B donne A|A'= -« tangV; d'où (X.,26)
hay f'bt f'c représentant les hauteurs de ABG. Mais
a = BHi -4- lïj C = //a (CQtB -h cote ), ... ;
conséquemment,
Got Y = col A H- col B -h cot C.
37. Le triangle AiBiCi est inversement semblable à ABC; car les droites KAi, KB], KCs sont menées par un même point de la circonférence (OK) parallèlement aux côtés du triangle ABC (N.,45).
Cherchons le rapport de similitude. En tenant compte des signes des aiifcs (*), on peut écrire
A,B,C, r= OAiBi -hOBiC -h OCiAi.
Les angles AiOBi, ACB ayant leurs côtés perpendicolairos, on a
OAij), ^ OA,.OB| ^ fOA^-Aiy)(OB>-B,B\
8 " ab " <(b '
comme OA'=-«cotBOA' = -rtcotA, AiA'= -«tangY,..., cette rclation prend la forme
OA, B, ^ \ ^^^^^ __ ^g^jjgy^ ^ çQ^g tang V).
Additionnant l'égalité précédente avec les deux autres analogues, et observant que
cotAcotB-+- cotBcotC-i-cotCcotA= i, cotA-h cotBH-cotC = colV,
on trouve
AiBiCi 3tang«V — t
iVBC "" 4
L'aire A|B|('i étant négative, le rapport de similitude des deux tri-
(*) Loi alre« d« deax trlui(rl«i, détignée» par ABC, A'B'C'f sont de mènK^
»i0ne ou de %iga%% contraires suivaDt que lot tons de roUkioD ABC, A'B'C
I fnt les luèmca ou Jiforent. Si 0 est uu point quelconque du plan AiUi,
on ■
ABC = OAR -' OT^r -{- OCA.
4^2 NOTJB lli.
angles A4BiCi, ABC est égal àj /i —3Ung«V, et
Bi Cl = - û /i — Slaugn', • • • , OK = R /i — 3tang«V.
LEMME
38. Sur les côtés d'un triangle ABC, on construit trois triangles directe^ ment semblables ABc^ BG«, CA^ : les triangles abc, ABC ont même cc/ure de gravité.
Supposons d*abord les points a^ 6. c quelconques {fig, %3) et soieni G, G', G", G*" les centres de gravité des triangles ABC, aBC, «ôC, nhc. Les médianes AA', aÂ! étant divisées en G, G' dans le même rapport
'1 : I, la droite GG' est parallèle à Aa et égale à - Ar?. On en conclut
aisément qu'on passe du centre de gravité du triangle ABC à celui de abc^ en construisant une ligne brisée GG'G'G'^dont les côtés sont parallèles aux droites Ar?, B6, Ce et égaux aux tiers de ces droites. G"
Fiy. 23.
coïncidera avec G, si les droites Aa, B6, Ce sont égales et parallèles aux côtés d'un même triangle (fg^i\).
Dans le lemme énoncé ci-dessus, les droites Ac, ^a, Ch sont proportionnelles aux côtés AB, BC, CA du triangle ABC et également inclinées sur ces côtés; donc elles représentent en grandeur et en direction lus côtés d'un triangle semblable à ABC. Les triangles, ABC, cab ont donc même centre de gravité.
39. D'après le lemme précédent, G est le point double des triangles se/nblables AihiCi, ABC (fig. 22).
Désignons par xx\xr' les bissectrices des angles A'GAi, Ai G A, el par Aa, B|, C|, A4, B4, C^ les points où elles rencontrent les médiatrices OA', OB', OC'. xx\ yy' sont les droites doubles des triangles sem-
GÉOMÉTRIE btJ TRIANGLE. 4^3
blables Ai Bi Ci, ABC ; on les appelle les axes de Steiner de ABC. Comme GA| et GA' sont deax lignes homologues, on a
GA, A, A, AiA^- A» A' jrttangV-AaA'
v/i-3lang«V=^Tn^=j^ = — j-fr- = i -—. ,
doù
^tangV
2(1-1- v/i— îtang^V)
On voit que les triangles isocèles A3BC, B|C A, CaAB sont semblables leur augle à la base, que nous représentons par Vi et qui a reçu le
Fig. 2/|.
nom de premier angle de Steiner de ABC, est donné par la formule
coiVi = T-n = cot V -h /cet» V — 3.
Al A
De même, les triangles A4BC, B4CA, C^AB sont semblables, et leur angle à la base {second angle de Steiner) vérifie l'égalité
cotV, = col V — v^cot«V — 3.
THÉORÈMES
40. Les perpendiculaires abaissées des sommets de ^VBC sur les côtés opposés ££0 Al Bt Cl concourent en un même point N ; les parallèlet menées par les sommets de ABC aux côtés correspondants de AiBiCi concourent en un méhte point R. Les points N er R sont les extrémités d^un mène diamètre du cerclé ABC ; ce sont, par rapport au triangle
464 IVOTE UU
ABC, les homologues des points 0, K considérés datis le plan A|B|Ct.
En effet {fig. aa), deux droites homologues des. plans Ai BiC|, ABC. ayant des directions symétriques par rapport à œx\ les perpendiculaires abaissées de Ai, Bi, Ci sur les côtés de ABC ont pour lignes correspondantes les perpendiculaires abaissées de A, B, C sur les côtés de Ai B| T.j.
On démontre facilement, par la considération de triangles semblables, que les coordonnées normales d'un point M de la circonférence circonscrite au triangle de référence ABC sont inversement proportionnelles aux rayons vecteurs MA, MB, MC. Par conséquent, les coordonnées normales do 0 dans le triangle AiBiCi et celles de N dans le triangle ABC sont inversement proportionnelles à OAi=Y(cotA — taugV). OBi, OCi ; d'où Ton déduit qu'elles sont entre elles comme
séc(A- V) : soc(B — V) : s6c(C — V).
Celles de K dans le triangle AiBiCi sont inversement proportionnelles à A'X = KAi, B'Y, C'Z, en désignant par XYZ le triangle podaîre do K par rapport à ABC. Soient Kj, K^ les points de rencontre de AK avec CA, OB'; BKjKK^ étant une division harmonique, le segment B'V est divisé harmoniquement par KjHj. Par conséquent (332),
b'V " 2 VB'K. B'IL/'
si l'on calcule B'Ks, B'H] en fonction de a, ùy c, on trouve que les coordonnées normales de K dans AfBiCi, et celles de 11 dans ABC, sont
-41. Les pcrpendicuiain^K menées des milleu-x des côtés du triangle Al BiCi sur les côtés correspondants du triangle ABC concourent au centre du cercle des neuf points de ABC. Car ces droites, parallèles a 0A|. OBi, OCi passent par le complémentaire 0' de 0 par rapport à AiBiCj^ de sorte que GO' = | OG.
42. Les droites AAi, BBi, CCi concourent en un même point D, qui est le réciproque de K par rapport à ABC .
Si l'on coupe le faisceau harmonique A'(AKiKKa) par la droite KA| parallèle au rayon A'Ki, on voit que AA' passe au milieu de KAi ; donc AR et AAi rencontrent BC en des points isotomiques.
Nous mentionnons, sans démonstration, les propriétés suivantes : l^e point D est situé sur la droite NR ; l'axe d'/iomoiogie des triangles ABC, Al BfCi est perpendiculaire à la droite OD.
i3. Les droites ÂCi, BÂi, CBj concourent en un même point Û du cercle (OK); les droites BCi, CA|, AB| concourent en un second point Q' du même cercle.
En efTet, les droites A G}, BAi faisant to môme angle avec les droites CiO, AïO se rencontrent sur la circonférence AiCiO; de même, les droites BAi, CBi se coupent sur la circonférence AiBiO. Donc les trois lignes ACi, BAi, CBi passent par un môme point de la circonférence(OR)-
SCOLIB.
U. l'LesanglesAûB, BûC, CûA sont égauxàir — B, «— C, tt-- A.
Par conséquent, pour déterminer le point Q, on peut décrire une circonférence passant par les sommets A, B, et tangente à BC;
