G, A, » AB
Ges circonférences sont appelées les circonférences atljointes (AB), (BG), (GA).
Le point Q! est à Tinterseclion des circonférences adjointes (BA), (BG), (AG).
U, 12' sont les points de Broatrd du triangle ABG.
a" 12 est le premier métapôle des triangles ABG, GAB ; Q', celui des triangles ABG, BGA (N., 44, 15).
Soient (yf^. a5) 12i, a les points de rencontre de la droite AQ avec le côté BG et avec le cercle adjoint BûG. Le triangle aBG étant inversement semblable à GAB, la droite «G est parallèle à AB, et la droite aB touche le cercle ABG. Il résulte de là
oG BG ^^^ BA , BG ~ AB' iliG~"iG^
en éliminant «G, on trouve
BU, r«
Par analogie,
UjG a
U,A~6*' U3B~c»' U'iG""/^,' *•• Ainsi, les coordonnées bar/centriques des points Û, U' sont
lews coordonnées normales ont pour expressions
/c a b\ fb c n\ \Z* c' a /^ \c\i* TjJ'
R. et Dg C. — Tr. de Géom, {{*• Partie). 3o
466 MOTB m.
y En comparant les coordonnées b^rycentriques des points K, Q^ Q\ on a une construction très simple pour déduire les deux derniers points du premier : les droites Kiil^i Ks^i^Ksl^i sont parallèles à CA, AB, BG; les droites KiQ\, Rstl',, lLzQ\ sont parallèles à CA, AB, BC.
Fij.
4® La corde QQ' du cercle (OK) est perpendiculaire sur le diamètre OK et est vue du po'uit 0 sous l'a/igle 2 V. En effet, les angles l2AiK , K Al û' sont égaux à V.
THÉORÈME
45. Soient Fa , F^ , ¥c trois figures directement semblables, construites sur les côtés BC, CA, AB du triatigle ABC comme segments homologues. Lei points As, Bs, Ct du cercle (OK) sont les centres de similitude de Fa et Fc, ¥c et Fa, Fa et Yt, (fg. 22).
Soit a la seconde extrémité de la corde symédiane AK. OAs étant perpendiculaire à AK, As est le milieu de Aoc; BAs et BKi sont donc la médiane et la symédiane du triangle BAa ; d'où émgle ABAs = CBa == GAa,
et, par analogie, angle ACAs = BCa = BAa. Les triangles CAAs, ABAi sont donc directement semblables, et Ai est le point double (368) de
Fa, Pc.
Corollaires.
Le point Aj appartient aux circonftfrences adjointes (BA), (CA) et à la circonférence BOC. Car l'angle
AA,G = 7r - Ai AC — ACA, = it — Aj AC — BAA, = it — A.
'JL" On a Ai A = AjB. AjC, —- = ,-•
THÉORÈME
46. Les triangles Ai Bi Ci, AiBsC] ont pour centre d'homologie le centre de gravité G «fe Ai Bi Ci ; pour axe d'homologie, la polaire de G par rap^ port au cercle (OK) {fig, 22).
En effet, Bi et Ci étant des points homologues de F^ et F^, les droites homologues A^Bi, A, Ci font entre elles un angle égal à celui des lignes homologues CA, AB ou égal à ir — A; de plus, elles sont proportionnelles à CA, AB ou à Ci Ai, AiBi. Par conséquent, les points Ai, Aj sont situéa de part et d'autre de BiCi, et AiBi. AiBi = AiCi. AiCi; les triangles Ai AsBi, AiAiB, sont donc équivalents, et Ai As passe au milieu de BiCi.
Comme les cordes Ai A,, BiB, se coupent en G, le point d'intersection des cordes AiBt, AiBj appartient à la polaire de G (3ii), etc.
Corollaire.
Le triangle A,B,Ci est semblable au triangle podaire de G par rapport à ABC.
THÉORÈMES
47. La polaire de m par rapport au triangle ABC est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle (OK) {Jig* aa).
Soient u^ Vy z les points de rencontre de la droite OKavec la circonférence ABC, et avec la polaire kx k^ k^ do K. La division harmonique uvz K donne (332)
f f / r I \ zO
c K 'À \ z a zvj zu . zv donc JsK.zO == zu.zv, ce qui démontre le théorème.
48. La circonférence (OK) et la polaire kik%ki deK sont des figures inverses par rapport à la circonférence ABC (fig* aa).
468 KOTS in. '
Ce théorème résulte immédiatement de la relation OK. Oz « Rs(d88). On en conclut que les points tripolairement associés à Ai^Bi, Ci, A«, Bt, d, Q, ù* appartiennent à la droite ki k^ A-j.
Les points Q, 12' étant des points inverses par rapport au triangle ABC, leurs triangles podaires (N., 9) sont directement semblables à BCA, CAB. Les droites Où, OQ' rencontrent la polaire de K en des points dont les triangles podaires sont inversement semblables à BCA, CAB. Le triangle podaire de z est inversement semblable au triangle dont los côtés sont parallèles aux médianes de ABC.
CERCLES TANGENTS AUX TROIS COTÉS dVn TRIANGLE.
49. Soient {fg. 26) I, !«, hj U les centres du cercle inscrit et des cercles exinscrits au triangle fondamental ABC. Les points de contact de ces cercles avec les côtes BC, CA, AB sont désignés par les lettres
On sait que ABC est le triangle ortliique de chacun des quatre triangles lahhy l 'rl/^i IcHa* Ulal- Cette remarque conduit à quelques théorèmes qu'il suffit d'énoncer.
1° Les droites I^ai, là^i, h^3i concourent au centre V du cercle laUIc; ^cs droites la, I^Pa, Uy» ^^ coupent tui centre Va du cercle We^bi etc. Les deux quadrangles VVrtVftVc, I latrie sont symétriques par rapport au point 0 ; les côtes du premier sont perpendiculaires aux milieux des côtés opposés du second,
2" Les droites qui joignent la, hi h ff^tx milieux A', B', C des côtés de ABC concourent au centre des sy médianes du iriangle \a \b ^c \ les droites A'I, B'ic, C'I^ sont les sf médianes du triangle llcl/», etc.
50. Les droites Xoiy Bp, Cy concourent en un point T ayant pour coordonnées barycentriquei
Les droites Aai, B^i, C^i concourent en un point Ta dont les coordonnées barycentriques sont
a-ir b -^ c -- u ^ b -^ c — « -+- w — c
Ces propositions se déduisent immédiatement des valeurs dos segments Ba, CoLy ....
Le point F est appelé quelquefois /^ot^i/^^^ Gergonne du triangle ABC; Tat ^b^ ^e sont los adjoints de F.
51. Les droites Aai, B^i, C^a concourent en un mAne point v, réciproque du point F et anticomplémentaire de L
GÊOnÉTiai BU TRIANGLK. 4^9
£es droites A se, B ^i, G yi concourent en un même point */„•, réciproque de Ta et anticompiémentaire de la, eto.
Les points a et si, p et ^s, ^ ^^ ï' ^^"^ isotomiques (N*t7)) les droites Aai, Bpt, Cys concourent en on point v, réciproque de F. Les coordannées barycentriqnes de v sont égales à— //-j-^-f-r, «—/.»-+- r, a*^ ^ — c.
Fig. 26.
Ces expressions montrent que v est l'anticomplémentaire du point I, dont les coordonnées sont a^ b, c, Poar étabUr dlreotement cette pro-
470 NOTB III «
priété, désignons par a' la seconde extrémité du diamètre al du cercle 1. A étant un centre de similitude des cercles I, Ui la droite ai«', qui joint les extrémités de deux rayons parallèles^ passe par A ; par conséquent, la droite A'I joignant les milieux de «on et a a' est parallèle à Aai, B'I et CI sont parallèles à B^s, Cys» et les points I, v sont des points complémentaires (N.,9).
Les autres parties de la proposition peuvent être établies par un procédé analogue.
V est appelé quelquefois \q point de Nagel de ABC ; Va» v^, v^ sont les adjoints de V.
