SUR LES FIGURES SEMBLABLBMENT VARIABLES

52. Une figure est dite semblablement variable lorsqu'elle se modifie d'une manière continue en restant semblable à une figure fixe.

THÉORÈME

Lorsque trois droites au b^ ^i d'une figure semblablement variable ^1 passent par trois points fixes A, B, C, il existe un point D de cette figure qui reste fixe. Tous les points de la figure décrwent der circonférences passant par D ; une droite quelconque passe par un poi^tfixe{fig. ^7).

Fig. 27.

Chaque position de «t est déterminée par les positions de trois de

( * ) J. Neubergy Proceeding» of ihe London Mathemalical Society-, i885.

GÊOMÉTRfB DU TRIANGLE. ^yi

droites, pourvn que colles-ci no soient pas concourantes. SoU Ai Bj Ci le triangle formé par «i, ^i, ci; comme il est toujours semblable à lui-même, ses côtés tournent autour de A, B, C, dans un miôme sens, de quantités égales, et ses sommets parcourent trois circonférences Oa, Oa, Oc, passant par deux des points A, B, G et se coupant en un même point D, métapôledu triangle ABC par rapport au triangle AffiiCf. Les angles DBiCi, DCiBi étant constants, D est son propre homologue dans toutes les positions de cpt : c'est un centre permanent de similitttde.

Les perpendiculaires menées en A, B, C sur DA, DB, DC forment un triangle AoBoCo, que nous pouvons considérer comme étant la ptmtiok initiale de AtBfCi. Soient O^N, Oc? des perpendiculaires, et OcQ une parallèle à BiCi ; comme BiCi = 2NP = aQOr, BoCo=*2060f, QOc< OftOc, les dimensions les plus grandes de la figure varîablecorrespondcnt à la position initiale oq. Le rapport de similitude de oi et <po a pour expression OcQ; OcO^^s eosa, 9 désignant Tangle CoACi.

Soient Mo, Mi deux points homologues de <po, 91. Les triangles DMoBo, DMiBt étant semblables, les triangles DMqMi, DBqBi le sont également, et le lieu de Mi est la circonférence 0,« qui a pour diamètro DM«.

Soit Ml M une droite quelconque de «pi. Un point Mi de cotte ligne décrit une circonférence 0,,» et l'angle DMi M est constant; par suite, îa droite passe par un point fixe M de la circonférence 0/»* Ce point est ki projection du centre permanent D sur la position initiale Mo M de la droite.

SCOLIB.

53. I* Les droites au bty c^ à un certain moment, coïncident avec AD, BD, CD; dans cette position, tous les points de la figure variable sont confondus en D, et toutes les droites passent par D.

La figure passe deux fois par les mômes états de grandeur : elle a les mômes dimensions lorsque ai prend deux positions symétriques par rapport à BoCo.

a"* Le cenlro permanent D est, dans le triangle variable A|BiCi, Tinverse du métapôle ou le centre métaharmonique de ce triangle par rapport au triangle ABC. Ce rôle de D s'aperçoit immédiatement dans le triangle AoBqCo, dont ABC est le triangle podaire par rapport à D.

3* Considérons une seconde figure <p| qui varie en restant symétriquement semblable à la figure tpi, avec la condition que les homologues des droites ai , ^1, ci passent aussi par les points A, B, C. Le centre permanent de similitude de ^\ est le jumeau D' de D(N.,17), dans le triangle ABC. 11 existe entre les triangles antipodaires de ABC par rapport aux (leax points D, D* cette relation assez curieuse que nous ne faisons qu'énoncer ici : La dijférence des valeurs absolues de leurs aires €<i ifgalc à qaatpefois l'aire ABC.

47^ iroTi.ni»

54. Lâs cas où les droites ^i, b^ cx, dans une position particulière, coïncident, soit avec AB, BC, GA, ^oit avec CA, AB, BC, présentent un grand intérêt.

1° Dans le premier casO^*. a8}, les droites oty bty ci font avec AB, BC, GA un môme angle X. Nous désignons maintenant par At, Bi, C| les points d'intersection des droites c\ et a^ at et b^ bi et ci, de sorte que le triangle AiBid est semblable à ABC; ces points se meuvent sur les circonférences adjointes (GA)^ (AB), (BG)^ dont les outres soat représentés par a, p, y* ^^ centre permanent 4e similitude est le point Q de Brocard, tel que û AB = UBC «= tiGA = V.

Soient 0 le centre du cercle ABC ; AoBqGo le triangle antipodaire de Q par rapport à ABG. Les angles aOp, pOy, yûa étant les suppléments des angles de ABG, 0 est le point direct de Brocard du triangle a^y, et son homologue dans le triangle AoBoG» s'obtient en prenant sur OO une Ion-

gaeur ÛÛ^ = aûO. II résulte de là que les points directs de Brocard des triangles Ai Bi Ct ont pour lieu géométrique la circonférence décrite de 0 comme centre avec le rayon Où.

Appelons AsBiCt le triangle formé par leâ droites Aa, Bp, C7; c*êst une position particulière de AtBiCi. Les distances de O aux côtés du triangle AtB,Ct sont égales à C'A, A'B, B'C; elles sont donc propor* tionneUes à oes côtés, et 0 est le centre des syme'dianes de AtBsGi. On dédnitf de cette propriété, que le centre des symédianes^ du triangle A)B]Cf parcourt le cercle (OK) du triangle ABC.

Le rapport de similitude de» triangles AiBiCf, ABC est égal à eehiiî des lignes homologues ûAi, QA; il a donc pour expression

sin(V-+- X): sinV.

Il se réduit à coséc V ou cotV, lorsqu^on compare AoBqCo ou AiBsCt à ABC.

a° Lorsque les droites ai, bu ci font avec AC, BA, CB un même angle X, elles forment (Jig, 29) un triangle A'|B\C'i semblable à ABC

Fîp. 29.

et dont les sommets déerrvent les circonférences adjointes (BA), (CB),