NOT? m

(AG). Soient of', fi', y' ^^^ cenlres de ces cercles; 0 est le point rétrograde de Brocard du triangle a'^Y * ^ centre permanent de similitude des triangles AiB'iC'i est le point direct de Brocard de chacun d'eux; leur point rétrograde de Brocard décrit la circonférence ^ui a pour centre 0 et pour rayon 0 i2.

Deux triiuigles AiBiCi, A'j B< C, (Jîg* 28 et 29), qid correspondent à la ménie valçur de X, sont égaux, et ont pour point double le centre 0 du cercle ABC.

£n eiïet, les côtés homologues se coupent sur les médiatrices OA', OB', OC de ABC et font un angle constant aX ; par conséquent, une rotation autour de 0 amène Tun des triangles sur l'autre.

55. Le cas {fig. 3o) où trois droites ai, 61, ci d'une Ggure sembla* blement variable tournent autour de trois points A, B, C situés en

Fig. 3o.

ligne droite se traite de la même manière que le cas général. Les points Al, Bi, Cl se meuvent sur trois circonférences Oa, 0^, Oe passant par le point D, d'où Ton voit les longueurs AB, BC, CA sous des angles égaux à ceux du triangle AiBiCi ou à leurs suppléments; ee point est un métapôle du triangle aplati ABC et du triangle A |BiC|. Les triangles DAiBs, DBiCi, DCiAi sont équlangles à DBA« DCB,DAC;

GfiOHeTnil nu TBIA^GLE.

donc le point D ostfiie dans lo plan AiBiCi, cl la circonfére.

■eA,B,C, ■oituairiment par D. De plus, la droite ABC peut ôlre placée de telleraçonquelespoints AelAi,BetBi,CetCi secorrespondentdansuhe Iranaformation par rayons vecteurs réciproques, elTectiiée du p6)e D ; par suite, D eal un centre métaharmonique des triangles AiBiCi, AfiC. Le triangle A|BiCi devient mauniuin quand ses c6tés sont per|>endi' culairos à DA, DB, DC. Tout point de la Ûgure variable décrit une circonférence passant par D. En particulier, le contre du cercle A|B|C| se meut sur la circonréronce CaO^O,; car, si la tangente menée en A au oerele Oe rencontre le cercle 0» en ^, le triangle C^ est une position particulière de A|B|0, et le point 0 se trouva en Oa, etc.

S6. Si trois pointf Ai, B|,C| d'une figure semhlablemeni variabie-f,

parcourent les c6tés BC, CA, AB d'un triangle donné KWZ, il existe un

piint F de cette figure qui reste fixe. Tout autre point décrit une

droite {fig. 30-

Fig. 3i.

Lm circonKrcDCM ABiCt, BCiAt, CA|B| e* coupent en un mAme

47^ WOT* iHé

poim F, métapôle des triangles AiBiGi, ABC. €& point ost done fixe dans le plan ÂiBiCi ; il Test également dans le plan ABC, car les angles FBC, FCB sont égau^ à F Ci A,, F Bi Ai. F est donc un cwurepermaneni de similitude de «pf.

Menons FAo, FBo, FCo perpendiculaires sur BG, CA, AB. Le faUcean F(AoBoGo)peut être considéré comme étant \bl position initiale du faisceau F(AiB,Ci). Le minimum du triangle A|B|Ci est le triangle podaire de F par rapport à ABC, et le rapport de similitude de ft et cu

est exprimé par «^ = séc X, X désignant AqFAi.

Soient Mo, Mi des points homologues de 701 ^\ ; los triangles FMoMi, FAo ^1 étant semblables, le lieu géométrique de Ai 1 est la perpendiculaire menée en M© sur la droite FMo.

SCOLIG.

57. i' Si l'on fait tourner le faisceau F(AoBoCo) du môme angle > dans un sens ou Tautre, ses rayons coupent les oôtés de ABC aux sommets de deux triangles égaux. Donc la figure «pi, dans ses variations, passe deux fois par les mêmes états de grandeur.

2* On peut imaginer une seconde figure ^\ qui varie en restant symétriquement semblable à «pi, avec la condition que les points homologues de Al, Bi, Cl parcourent également les droites BC, GÂ, ÂB. Le centre permanent de similitude de «pi est le point /, tripolai rement associé à F dans le triangle ABC. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que les inverses des aires des triangles podaires des points F, / ont une différence constante, égale à quatre fois l'inverse de l'aire ABC.

58. Soit F' l'inverse de F dans le triangle ABC, et soit A^BiCi le triangle podaire de F. Les triangles AoBqGo, AoBoC'o sont inscrits dans la môme circonférence ayant pour centre le milieu Po du segment FF' (/^. 3 1).

Faisons tourner les deux faisceaux F(AoBoCo), F'(AoB'oG'o) autour de leurs centres d'un môme angle X, mais dans des sens contraires. I^urs rayons rencontrent BC, CA, AB aux sommets de deux triangles AiBiC], Al B't Gj , qui sont respectivement semblables à AoBoCo, AoB'o Cq* Soit P| le centre de la circonférence AiBi ;Ci les triangles FPoPi et FAo Ai étant directement semblables, il en est de môme des triangles F'PoPi et F'AoA'i. Il résulte de là que les deux triangles AiBiGi, AiBiG\ sont inscrits dans une même circonférence.

On peut donner deux autres modes de génération des groupes de six points, tels que AiBiGiA\B;C'i, situés sur le périmèlre d*an triangle fixe ABC et appartenant à une même circonférence. Soît »be le irianglo

GÉOMÉTBIB: IW XftlÀNGLB. 4??

formé par les droites BiC'i, Ci A'i, ÀiB',, et> soit a' h' g* le triangle qui q pour côtés les droites BVCi, G, A|, A'i Bi. Les côtés des triringles <tbe^ a'b'c* ont des directions invariables, et leurs sommets parcourent trois droites fixes AE, B£, CE. En effet: i° Le quadrliatère BiC, A\B| étant inscrit, Tangle ABiC, =:C\Aifi'i ; <lonc les côtés du triangle a^ fbnt avec CA, AB, BC dos angles égaux aux angles A'i, Bf, C'i du triangle X\ B'(C',, etc. 2"* Les côtés du triangle Ci B| a ont des directions fixes et deux sommets décrivent des droites ; par suite, le point a se- meut sur une droite passant par A. 3° Les côtés opposés de l'hexagone inscrit Al B'i Bi A'i Cl C, se coupent en trois points a, A, a', situés en ligne droite. 4* Enfin, les côtés opposés de Thexagone inscrit AiA|BiB',CrC'i se coupant sur une môme droite, les côtés do rang pair otceiix de rang impair forment deux triangles ABC, idtc qui ont un centre d1iomologie« Cherchons les coordonnées normales x^ j, z de K dans le triangle ABC. Le rapport / : z est égal à celui des i)erpendiculaires menées .du »peint a sur AC et AB; d'où

jr oB^sinAiBiBi ^ «F, sinAiCiBt z "" ûCisinA'iCiG', "~ riC, sinAjUjC, *

Dans le triangle n C, B', ,

aW\ __ sinA;C|B; sin A', C, B\ rtCi "~ siuAiB'jCi"" sin Al Bi Cl'

On déduit, do ces cgulilés,

cosécAi cosécA'i cosécBi cosécB', cosécCi cosécC'^ '

59. Examinons encore le cas (fig, 3a) où trois points Ai, Bi, Ci d'une

figure semblablement variable sont assujettis à se mouvoir sur trois

droites concourantes FA, FB, FC. Si Ton donne le point Ai sur FA et que la eireonférenoe Ai Bi Ci rencontre les droites FA, FB» FC en a^ b, c,

47^ IVOTB III.

on peut détenniner I0B poiats b, c par la condition que les angles A| bB, AicF soient égaux à AiCiBi, AiBiCj, et, par suite, décrire la circonférence Al bc. Cette construction montre que les côtés du triangle Ai Bi Ci se déplacent parallèlement à eux-mêmes, lorsque Ai se meut sur FA. F est donc un centre permanent d'/iomothe'tie.

Il peut arriver que la circonférence AiBiCi passe par F. Alors toute circonférence passant par F rencontre FA, FBy FC en trois points qui sont les sommets d'un triangle de forme constante; et F n'est plus un centre permanent de similitude.