SUR QUELQUES CERCLES REU.VRQUABLES
60. Les résultats des n"^ 56, 57, 58 prennent une forme très simple, lorsque le triangle AiBiGi est directement semblable à BGA. Dans ce cas, F, F' sont les points de Brocard û, û'; le triangle A'iB\G\ est semblable à CBA; le centre de la circonférence AiBiCi est situé sur la droite OK; les côtés du triangle abc sont parallèles à ceux de ABC; les côlés du triangle a'b'c' sont parallèles aux tangentes menées par A, B, C au cercle ABC; enfin, le centre d'homologie E des triangles ABC, abc, a'b'c' coïncide avec K.
Nous allons établir ces propriétés par une seconde méthode, qui a l'avantage de s'adapter aux polygones dits harmoniques.
PROBLÈME
61 . Etant donné un triangle ABC, on propose d'en construire un second abc qui soit homothétique à ABC, et tel que les six points de rencontre des côtés non homologues des deux triang^les soient situés sur une même circonférence (^fig* 33 ).
Soient a, «', p, p', y, y' ces points. Les points y» P'i Pi y' appartenant à une môme circonférence, yP' ^^^ une transversale antiparallèle de l'angle BAC. Mais la figure Ay^^' est un parallélogramme; donc la droite Aa passe par le milieu de yP' et, par suite, est une symédiane de ABC. On conclut de là que le centre d'homothétie des triangles ABC, abc est le centre des symédiancs de chacun d'eux.
Cette condition est suffisante. En effet, soient m, /z, p les centres des parallélogrammes Aya^', Bab^'y C^ca', et soit w le centre du cercle mnp. Puisque les symédianes AK, BK, CK passent aux milieux des transversales P'y, y'*» ^^P» celles-ci sont parallèles aux côtés du triangle KaK^Kc formé par les tangentes au cercle ABC. Les angles Ay^\ By's sont égaux comme étant égaux à ACB; d'où
Par conséquent, les triangles rectangles (iimY» co/ia, iap^ sont égaux, et (i> est le centre d'un cercle passant par les six pointa «, a , p, p', f^y\
GÉOMÉTHIE DO TRIANGLE. 4^79
Les triangles ABC, mnp étant homotbétiqxies par rapport à K, eu est situé sur la droite OK.
SCOLIB.
62. i'LesdroitesYP',î«Y'>P*'sontparalIèIesauxcôtés(iutriangIeKaK6Kt et divisent les droites KA| KB, KG en parties proportionnelles; elles forment donc un triangle a'b' c\ homothétique à KaK^Kc par rapport à K.
Fig. 33.
2* De l'égalité des arcs P'y, y'», «'Pi on conclut aisJment que les triangles y»?, P'y'*' sont égaux entre eux el semblables à ABC.
y Soient U, û' les points de Brocard du triangle ABC. Si l'on fait tourner le faisceau û(ABG) autour de 12 d'un angle quelconque, ses rayons
48o NOTE III.
renconlrent AB, BG, CA aux sommets d'un iriangle -^(z^ semblable à ABC : car les triangles l^A^y^Ba, QC^ sont directement semblables, d'oùTon conclut la similitude des triangles 12 AB et £2^2, i2BC et Qq^p, £2CA et 12^*;. On voit que 12 et 12' sont les centres permanents de similitude des triangles variables Y«p, P'^'^'^^la/^. 33.
4° Le lecteur trouvera facilement la démonstration des théorèmes suivants :
Soient P'y> ï'*» *'P ^^^^^ ^^^^ égaux, de même sens, d'une circonférence. Lès cordes ^'^^ y'*» cl' ^ forment un triangle dh*c*\ les cordes aa', pp', yt'» w/i second triangle ABC; les cordes Py'» T*'» «P'» *<" ^''O'sième triangle abc. Ces trois triangles ont pour centre d'homologie commun le centre des sjrmédianes des triangles ABC, abc.
On inscrit à une circonférence co un hexagone aa'YY'PP' dont let côtés opposés sont parallèles» Le triangle formé par les côtés de rang impair et celui qui est déterminé par les côtés de rang pair, ont mêmes symédianes.
63. Si le triangle abc de \d.fig. 33 se réduit au point K, on a le théorème suivant :
Les parallèles aux côtés d'un triangle ABC, menées par le point K. coupent les côtés en six points a, a', p, P', y, y' ^'^^^ même circonfé^ rence ayant son centre au milieu de OK {^g^ 34).
Fig. 34.
Les angles KocY) KyP» Kpa ont pour mesures les moitiés des arcs égaux P'yi a'Pf t'<x« Donc K est le point direct de Brocard du triangle apYi il est le point rétrograde de Brocard du triangle «'P'y'* ^^
côtés de ces triangles sont parallèles aux rayoHs des faisceaux Q(A^C), i2'(ABC).
Les côtés homologues des triangles ABC, 73^ et les rayons homologues des faisceaux û(ABC), û(Ya^) font entre eux Tangle V; par suite, les triangles yAû, aBU, pCû sont isocèles, et les points y> «t P sont à l'intersection de AB, BC, CA avec les perpendiculaires menées aux milieux des rayons i2A, ÛB, ÛC.
Le rapport de similitude des triangles 72^, ABC a pour expression
ûy __ sinûAy sinV 1
Û A sin 12^ A sin 2 V a cos V
64. Le triangle a'b'c' do la fig, 33 peut se réduire au point K; ce qui donne la proposition suivante : Les parallèles aux côtés du triangle orthique de ABC, menées par le point K, rencontrent les côtés des angles BAC, CBA, ACB en six points a, a', p, P', y, 7' d*unc circonfé" rence ajant pour centre le point K {fig* 35).
Fig. 35.
tw--. \v |'^< -^T \ \ /
fi
Cette figure donne Heu à plusieurs remarques intéressantes.
R. et OE C. — Tr, de Céom, (!'• Partie.) 3l
A un trituigle donné ABC, on peut inscrire deux triangles a^v, œ'P'y' ^^nt leurs côtés perpendiculaires à ceux de ABC. Ces triangles sont inscrits dans une même circonférence ayant pour centre le point K.
Si un hexagone inscrit a^'^^'^i! a ses côtés opposés égaux et parallèles, le centre de la circonférence circonscrite est le centre des symédicmes de chacun des triangles ABC, abc formés avec des côtés alternants de l'hexagone,
Q. étant le centre de similitude des triangles y«?i ABC, dont les côtés homologues sont perpendiculaires, les angles A Qy, BOa, Ciip sont droits: donc le rapport de similitude de ces triangles a pour expression
THÉORÈME
60. Soient Hi, Ht, H3 les pieds des hauteurs du triangle ABC ; a\ b\ c les milieux des droites HiHj, HjHt, H|Hi; p' et f les projections de Hi sur AC et AB, y' et 1 celles de Hj sur BA et BC, a' et p celles de \h sur CB et CA.
Cela posé :
I* Les six points a, a', p, P', y, y' ^^'ï' situés sur une même circonférence T.
1" Les droites P'y» y'^i a' ^ passent par deux des points a\ //, c et ont pour longueur commune le demi^pérunètre du triangle HiHjHi-
3° Le centre du cercle T est le centre du cercle inscrit au tri' angle a'h'c'\ il est situé au milieu de chacune des droites Ht Aa) UjBa* HaC/i joignant les pieds des hauteurs de ABC coâx orthocentres des triangles AHjHj, BH3H,, CHiH, (fg, 36).
Nous rattachons cette proposition aux n*^' 61 et 62. On sait que les droites A a', B b\ Ce' concourent au centre K des sy médianes de ABC (N.,29). Par conséquent, le triangle a*b'c* est homothétique à KaK^K^ par rapport à K, et ses côtés rencontrent ceux de ABC en six points a, a', p, P', 7, y' d*une môme circonférence, dont le centre T est situé sur la droite OK.
Le triangle c'P'Hj est isocèle, car
angle A p' y = AH, H, = ABC = CH, H»; d^où
et Tangle Hip'Hi est droit. Ainsi, les points a, a', p, P', Y) ï' sont le*^ pieds des hauteurs des triangles AlIsHs, BH3H1, CHiH). Nous venons de trouver
par aoalogie,
6ÉOMËTRII DU TBIÀNGLB.
b'-^^b'Hi^^c/a'.
Donc la droite P'y ®st égale au périmètre du triangle a'b'c'.
Les cordes égales p'y, y'a, a'P sont à égale distance du centre; donc T est le centre du cercle inscrit au triangle a'b'c.
Nous avons trois parallélogrammes AaHjHH,, B>iH,HH„ C>iHiHH,; donc les côtés opposés de Thexagone AyiH,C/iHiB>iH, sont égaux et parallèles, et les diagonales Ay^H^BAH,, C^H, se coupent mutuellement en parties égales. La droite a'T, bissectrice de l'angle c'a'b\ est parallèle à H,Ba et passe par le milieu de H, H,; donc elle passe égale-
Kig. 36.
mont par le milieu de H,Ba. On conclut de là que T est le milieu de chacune des droites AaH,, BaH,, CaIIi-
SCOLIB.
ce. I» Les droites AA*, BBa, CCa étant perpendiculaires à H, H„ H, H, II, H, concourent au centre 0 du cercle ABC. Les triangles A^BaCa' II, H, H, sont symétriques par rapport à T; donc leurs cétés homologues sont égaux et parallèles, etO est aussi l'orlhocenlre de AaBaCa Soit // rorthoceotre de H, H, H,; ce point est le symétrique de 0 par rapport à r, donc il est situé sur la droite OK.
484 ivoTE m.
2° Les droites ^y', ya', a^' forment un triangle abc homothétique a ABC par rapport à K (N.,62), propriété qu'on peut démontrer directement.
La droite Aa'K passe donc au milieu m de b'c'. Mais b'm est égal au demi-périmètre f/w du triangle a'b'c' diminué de i'^ =a'c'; donc w est le point de contact de b'c' avec le cercle inscrit au triangle a'b'c. Autrement dit, K est le point de Gergonne du triangle a*b'c\
3* Les droites ^Hi, p'Hi étant perpendiculaires à a^\ a y, la droite aHi est perpendiculaire à ^'y ^^ HsHa. Donc les lignes aHi, ^Hs, c\h senties hauteurs du triangle H1H2H3; il est facile de voir que leur point de concours h est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle abc,
4" On sait que les triangles y^Pi ABC sont semblables et ont mômr point de Brocard Q.
Leurs côtés homologues font un angle constant ^, que Ton peut calculer par la formule
tangcp = — (tangA -h tangB -h tangC) = — tangA tangB tangC.
Pour démontrer celle-ci, menons ap perpendiculaire à AB; nou^ aurons {fig. 36)
n otp ŒD Ba Yp H|a
tang<p = langaTrB=-:^, CH. = BC' BT, = BC-
D'où, en éliminant a.p et y/>i
CHa.Ba CH, Ba «H, tangç- uH^H^^- BH,"aH, 'Hia'
puis, en observant que
gljî = tangB, ^ = tangBHia = tangC, g-^ = tangaH|Hi= tangA,
on trouve la formule indiquée.
Soient p le rayon du cercle T et R celui du cercle ABC. Le triangio aYY' donne
aY'= apsintp.
Mais les quadrilatères OH|AHs, OH|BHi, OHiGHx ont pour mesures -HsHs.AO, -HfHi.BO, -HiHi.CO; par suite. Taire du triangle ABC e<>
S = i R(H,Ha-+- H,Hi-f- HiH,) = R.aY',
et comme on a
Qsincp aUsino
n smÂsmBsmC
smcp
le rapport de similitude des triangles a^y, ABC a pour valeur
p sinAsinB sinC R "~ sinç
cosAcosBcosC cos<p
1 . Les coordonnées normales absolues d'une droite vérifient la relation (N., 4,3)
que Ton peut mettre sous la forme
— (C«-4- «î— Ô«)vX — (««-+-&• - C*)XjJl r^ 4S*.
2. La perpendiculaire menée du centre 0 du cercle circonscrit à un
3 R' -*- OH triangle ABC, sur Taxe orthique (N., 7), a pour expression — -,^^ — •
4 Un
3. Du centre 0 du cercle circonscrit au triangle ABC on abaisse des perpendiculaires sur les droites passant par les pieds des trois bissectrices extérieures ou par ceux de deux bissectrices intérieures. Ces perpendiculaires ont pour mesures
^«--'•-^vV-.T^-
4. Le centre radical des trois cercles exinscrits à un triangle ABC coïncide avec le centre du cercle inscrit au triangle complémentaire de ABC. — Proposition analogue pour le centre radical du cercle inscrit à ABC, combiné avec deux cercles exinscrits.
5. Si deux triangles sont symétriques par rapport à un point, les transversales réciproques (N., 8) des côtés de Tun par rapport à l'autre triangle sont concourantes.
6. Une transversale m rencontre les côtés d'un triangle ABC aux points mt, /nt, m%. Les isogonales (N., 9) des droites Amt, Bms, C/713 rencontrent les côtés aux points m\^ iTt,, /n,. Démontrer que les
488 GÉOUÉTKIE OU TRIANGLE.
points m'i, /w',, m'^ sont situés sur une droite /w/. Les droites m, /n, sont appelées transversales inverses.
7. Soient M, N, P trois points quelconques pris sur les côtés BG, CA, AB du triangle ABC. Démontrer la formule
