MNP BM.CN.AP H- MC.NA^PB ABC " " ÂB.BC.CA
En conclure que i** si M', N\ P' sont les isotomiques des points M, N, P, les triangles MNP, M'N'F sont équivalents; 2° si ABCDEF est un hexagone dont les côtés opposés soient parallèles, les triangles ACE, BDF sont équivalents.
8. Calculer en fonction des côtés d'un triangle ABC : i"" Taire du triangle orthique; 2° celle du triangle qui a pour sommets les pieds des trois bissectrices intérieures ; 3° celle du triangle qui a pour sommets les points de contact des côtés du triangle ABC avec le cercle inscrit.
9. Soit P un point quelconque du plan d'un triangle ABC, et soient Hi, H,, H3 les orthocentres (N., S) des triangles BCP, CAP, ABP. Démontrer que les triangles ABC, II1H1H3 sont équivalents.
10. Soient a, p, y ^^^ points où les médianes m, m\ m' du triangle ÂBC rencontrent la circonférence circonscrite. Démontrer que
ABC ~ ~ ^m^m'^'mr^ '
il. Trois droites menées par les sommets d'un triangle ABC et par un même point P rencontrent les côtés aux points A', B', C. Oq les prolonge, dans les deux sens, des quantités
A'a-Aoc'r^AA', B' p = B P' =- BB', C'y = C^'r- CC
Démontrer que
apY = 4A'BT/-H 3ABC, a'P'f- A'B'C'-4- 6ABC.
12. Sur les côtés du triangle ABC, on construit, vers l'extérieur, les carrés BCDE, CAFK, ABLM; soient .r,^, z les centres de ces carrés, et soient X, Y, Z les quatrièmes sommets des parallélogrammes construits sur AF et AM, BL et BE, CD et CR. Démontrer les propriétés suivantes :
1° Les droites FM, LE, DK sont égales et perpendiculaires aux mé* dianes do ABC.
2° Les droites AX, BY, GZ sont égales et perpendiculaires aux côtés de ABC.
3" Les droites Ax, B7, Cz sont égales et perpendiculaires aux côtés du triangle jryz, ,
4** Les milieux des côtés du triangle ABC sont les centres des carrés construits intérieurement sur les côtés du triangle xjrz.
5"* Les points x, y^ z sont les milieux des côtés du triangle XYZ.
G"" Les triangles ABC, acjz^ XYZ, EKM, DFL ont même centre de gravité.
7*" Les quadrilatères BCFM, FKBL, MLCK sont équivalents au carré construit sur^z.
8° L'hexagone ËDRFMLE a pour mesure chacune des sommes
BC -h lyz , CA -f- %zx . AB -f- 'kxj .
9* Les droites Ax, BF, CM, KL concourent en un môme point.
iD'> Les quadrilatères EDFM, KFLE, MLDK sont égaux à quatre fois le triangle xyz,
13. Les notations étant celles de Texercice précédent, on demande de construire le triangle ABC, connaissant :
I** Les points x, j, z\
1^ Les points X, Y, Z;
3*" Le triangle formé par les droites DE, KF, ML suffisamment prolongées;
4" Le triangle formé par les droites FM, LE, DK suffisamment prolongées.
14. Par un point P, pris dans le plan d*un triangle ABC, on mène une parallèle à BC, rencontrant CA en p, AB en y'; une parallèle à CA, rencontrant AB en Yt BC en a' ; enfin, une parallèle à AB, rencontrant BC en a, CA en ^\ Démontrer :
r Que
w£ Û3' yy'
abc
:i* Que les triangles apy, a'p'Y' ^^^^ maximums, lorsque P est le centre de gravité de ABC ;
3*" Que la somme aa' + ^p' + yy' ^^^ minimum, lorsque
«.««'= ^.pp'=c.YY'; les coordonnées barycentriques (N., S) de P sont alors
Si.
4gO GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE.
15. Les notations étant celles de l'exercice précédent, démontrer : 1° Que
•2** Que la somme Pa-+-Pp-4-PY est minimum, lorsque P est le point de Brocard û.
16. Étant donné un triangle ABC, déterminer un point Jt tel que, si Ton mène les droites Jisi, Ji^i, Jifi parallèles à AB, BG, CA et rencontrant en (Zi, pi, Yi les côtés BG, GA, AB, on ait
Jia, -- Jip, r:= J,Y,.
De même, déterminer un point Js tel, que les droites Jjaj, Js^s, JtTi parallèles à GA, AB, BG et limitées à BG, GA, AB, soient égales entre elles.
Les coordonnées normales des points Ji, Jj sont
\Vl''a)' \'c'7i'l)''
l'inverse de Jioti et JiSs est égal à la somme des inverses de a, 6, c; Torthocentre de l'un des triangles ai^iYii (Xtp^Ys est le centre du cercle circonscrit à l'autre ; enfin, ces deux triangles ont môme cercle des neuf points.
17. Étant donné un triangle ABG, déterminer un point J tel, que les parallèles menées par ce point aux côtés de ABG et terminées aux autres côtés soient égales.
Démontrer que Tinverse de l'une de ces parallèles égaie la demisomme des inverses des côtés de ABG, et que J est le complémentaire du réciproque du centre du cercle inscrit au triangle ABG.
Les associés harmoniques des points J, Ji, Js (voir renoncé précédent) jouissent de propriétés analogues.
18. Soient AM, AN deux droites symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle A du triangle ABG ; soient M, N leurs points de rencontre avec BG, et M', N' leurs points de rencontre avec la circonférence ABG. On a
