LIVRE V. — LB PLAN

abaisse la perpendiculaire Ae sur la projection Ce/ de CD; on mène eE parallèle à AB jusqu'à sa rencontre E avec CD, et enfin EF parallèle à A^« Le lecteur démontrera sans peine que cette droite EF est, en grandeur et en position, la plus courte distance des deux droites données.

540. Enfin, si Ton ne veut que la distance, c'est-à-dire la longueur de la perpendiculaire commune, il suffit de mener par l'une AB des deux droites un plan P parallèle à l'autre CD, et de prendre la distance Bd d'un point quelconque de CD au plan f (Jig- 3oo).

8 V. - ANGLES DIÈDRES.

DÉFINITIONS

5W. Lorsque deux plans P et Q se rencontrent {Jlg. 3oî?) et sont terminés à leur intersection commune BE, on dit qu'ils forment un angle dièdre. Les deux plans P et Q sont les faces, et la droite BE est Varéte de cet angle.

54'2. Pour désigner un angle dièdre isolé, il suffit d'indiquer son arête; ainsi Ton dit (Jtg. 3o2) l'angle dièdre BE. Mais, lorsque plusieurs angles dièdres ont la même arête, pour désigner celui d'entre eux que l'on considère, il faut employer quatre lettres, savoir : une lettre pour chaque face et deux

Fig. 3oa.

Fig. 3o3.

pour l'arête; on place d'ailleurs les deux lettres relatives à l*arète entre les deux autres. Ainsi, dans la Jig. 3o3, on distingue les trois dièdres CABD, DABE, CABE. Deux angles, tels que CABD, DABE (Jig. 3o3), qui ont la

Gl^OHÉTRIE BANS L'eSPACB.

même arèie AB, une face commune ABD, el les deux aulres faces situées de part et d'autre de la face commune, sont dits adjacents.

54*3. Deux angles dièdres sont égaux lorsqu'on peut les faire coïncider. Pour ajouter deux angles dièdres, on transporte le second à la suite du premier de manière à former deux angles adjacents, tels que CABD, DABE [fig. 3o3); l'angle CABEdes deux faces non communes ABC» ABE est la somme des deux angles dièdres proposés.

5<^4. On acquiert une idée nette de la grandeur de l'angle dièdre, en supposant que Tune des faces P, d'abord appliquée sur l'autre face Q [fig. 3o4), tourne autour de la droite AB; dans cetle rotation, le plan mobile P fait avec le plan fixe Q un angle dièdre qui croit d'une manière continue.

Fig. 3o4.

Fi(j. 3o5.

Fig. 3o6.

On plan P, est ^\l perpendiculaire sur un plan QQ' [fig. 3o4)» lorsque les deux angles adjacents P, A BQ, PaABQ'^qu'il forme avec celui-ci, sont égaux. On plan P, qui forme avec QQ' des angles adjacents PABQ, PABQ', inégaux, est dit oblique sur le plan QQ'.

On nomme angle dièdre droit tout dièdre P|ABQ dont une face est perpendiculaire sur l'autre.

545. Deux angles dièdres sont dits opposés par l'arête lorsque les faces de l'un sont les prolongements des faces de l'autre. Deux plans indéfinis PP', QQ' [fig. 3o5) forment en se coupant quatre angles dièdres qui sont deux à deux opposés par l'arête AB.

LIYRB V. — LB PLAN. a5

On nomme plan bissecteur d'un angle dièdre le plan qui, mené par Taréte, divise cei angle dièdre en deux autres dièdres égaux entre eux.

546. On appelle angle plan correspondant à un angle dièdre l'angle rectîligne que Ton forme en élevant, par un môme point de l'arête, une perpendiculaire à cette arête dans chacune des faces. Ainsi, B étant un point de l'arête BE de l'angle dièdre PEBQ {flg. 3o6), si Ton élève dans le plan P la perpendiculaire BA sur l'arête BE, et dans le plan Q la perpendiculaire BC sur l'arête BE, l'angle ABC sera Vangle planûu dièdre considéré.

Pour que cette définition ne soit pas contradictoire, il faut que la grandeur de l'angle plan correspondant à un angle dièdre soit la même, en quelque point de l'arête qu'on forme cet angle plan. Or, soient les angles plans ABC, DEF, formés en deux points B et E de l'arête de l'angle dièdrePBEQ (fig. 3o6) : les côtés BC et EF sont parallèles et de même sens, comme étant, dans un même plan Q, perpendiculaires à la même droite BE; il en est de même de BA et deED par rapport au plan P; les angles ABC, DEF sont donc égaux.

Il e^i à remarquer que le plan ABC est perpendiculaire à l'arête BE; réciproquement, tout plan perpendiculaire à l'arête coupe les faces suivant des perpendiculaires à cette arête, et, par suite, l'angle dièdre suivant son angle plan.

THÉORÈME

5W. Par une droite \B, située dans un plan QQ', on peut toujours élever un plan P, perpendiculaire sur ce plan, et fon ne peut en élever qu'un [Jig. 3o4).

COROLLAIHES.

Si8. Tous les angles dièdres droits sont égaux*

La démonstration de ce théorème et de son corollaire est tout à fait semblable à celle qui a été donnée aux n"' 13 et ik de la Géométrie plane.

Un angle dièdre est dit aigu ou obtus suivant qu'il est inférieur ou supérieur à l'angle dièdre droit. Deux angles dièdros

26 GÊOMftTRIB DANS l'bSPAGB.

sont complémentaires lorsque leur somme est égale à un angle dièdre droit.

549. Tout plan P qui en rencontre un autre QQ' fait avec celui-ci deux angles dièdres adjacents PABQ, PABQ', dont la somme est égale à deux dièdres droits [Jig. 3o4). Réciproquement, si deux angles dièdres adjacents PABQ, PABQ' mi supplémentaires^ c'est à-dire ont une somme égale à deux dièdres droits^ leurs faces non communes Q et Q' sont dans li prolongement l'une de l'autre. [Foir les n*»*16, 17 et 18.)

550. Lorsque deux plans PP', QQ' se coupent, les anf^les dièdres opposés par taré te AB sont égaux {Jig. 3o5). (F'oir\t n» 21.)

THÉORÈME

551 • Le rapport de deux angles dièdres est égal au rapport de leurs angles plans.

Il suffît {voir Note I) de prouver :

I" Que si deux angles dièdres AIOB, ATO'B' sont égaux, leurs angles plans AOB, A'O'B' sont égaux [fig. 807);

2® Que 51 un angle dièdre AIOG est la somme de deux autres angles dièdres ATO'B', BIOC, son angle plan AOC est Id somme des angles plans A'O'B', BOC, qui correspondent aux deux autres angles dièdres [fig. 307).

En effet :

1" Transportons Tangle dièdre ATO'B', de manière que Tangle droit TO' A' s'applique sur l'angle droit lOA; puisque

Fig. 307.

les dièdres AIOB, ATO'B' sont égaux, le plan l'O'B' lombera sur le plan lOB, et OB' coïncidera avec la perpendicu-