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574. Di^signons par a, b, c les nombres qui mesurent les faces, et par A, B, C les nombres qui mesurent les angles dièdres d*un angle trièdre, 1 angle droit étant pris pour unité d'angle. Les nombres a', b\ c', qui mesureront les faces, et ceux A,B', C'qui mesureront les angles dièdres du trièdre supplémentaire, seront donnés par les formules

Si Ton connaît une propriété quelconque d*un angle trièdre, c'est-àdire une relation entre les éléments a, b^ c, A, B, C de cette figure, en appliquant celte relation aux éléments a', b\ </, A', B', C du trièdre supplémentaire, puis en remplaçant ces éléments par leurs valeurs tirées des

4^ GÉOMÉTRIE DAPfS l'eSPACB.

formules précédentes, on aura une relation nouvelle entre a, b, r, A, B, C, c'est-à-dire une nouvelle propriété du trièdre primitif.

De môme, toute propriété relative à plusieurs trièdres conduira, par la considération des trièdres supplémentaires des proposés, à une propriété nouvelle de ce système de trièdres.

On conçoit par là Timportance du théorème précédent. Voici d'ailleurs quelques applications de la méthode générale que nous venond'indiquer.

573. Nous avons vu (570) que la somme des faces d'un trièdre était toujours comprise entre zéro et quatre angles droits. Cherchons letluVrème correspondant, ou, comme on dit, le théorème corrélatif. Considérons à cet cifet le trièdre supplémenlaire du proposé ; «', b\ c' élant st^ faces, on a

Par suite, A, B, C étant les dièdres du trièdre proposé, on a

o < (9. - A ) H- (2 - B) -f- (^ - C)<4i ou

G>AH-B-t-C>2.

Ainsi, la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdre^ fti somme des angles dièdres est comprise entre deux droits et six droits.

Nous avons vu encore (567) que, dans tout trièdre, la plus grande face est moindre que la somme des deux autres : quel est le théorème corrélatif?

Soient a\b\ c' les faces du trièdre supplémentaire du trièdre considère a' étant la plus grande, on a

par suite, si A, B, C sont les dièdres du trièdre proposé, on aura

2-.A<(2— B) ^-(2— C), ou A-4-2>B-+-C.

D'ailleurs, le supplément d'un angle diminuant quand cet angle augmentr. A doit être le plus petit des dièdres A, B, C, puisque a' est la plusgramle des faces a\ b\ c'. Donc, enfin, la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdre, le plus petit angle dièdre, augmenté de deux flroif'' est plus grand que la snmme des deux autres dièdres,

576. En résumé, pour qu'on puisse former un angle trièdre avec tro'S dièdres donnés A, B, C, d faut que leur somme soit comprise entre deui droits et six droits, et que le plus petit augmenté de deux droits soit supérieur à la somme des deux autres.

UTRB V. — LE PLAN. 4^

Ces conditions sont suffisantes; car, quand elles sont remplies, les suppléments û', b\ c' des angles donnés A, B, C satisfont aux deux conditions du n* S71. On peut donc, avec les trois faces c, è', c\ construire on Irièdre; par suite, en construisant le trièdre supplémentaire de celui-là, on aura un trièdre dont les dièdres seront les angles donnés A, B, C.

THÉORÈME