Deux angles trièdres sont égaux

ï° Lorsqu'ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés;

a** Lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ;

3° Lorsqu'ils ont leurs faces égales chacune à chacune et semblablem en t disposées ;

• 4** Lorsqu'ils ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés»

i« Soient les deux irlèdres SABC et S'A'B'C (fg. 33o). Par hypothèse, la face ASB est égale à la face A'S'B', les angles

Fig. 33o.

dièdres SA ei S'A' sont égaux entre eux, ainsi que les dièdres SB et S'B'. On suppose en outre que la disposition est la môme, c'esl-à-dlre que, si un observateur dont la lêle est en S, le dos appuyé sur la face ASB et le regard dirigé vers SC, a Tarèle SA à ?a gauche et Tarêle SB à sa droite, un autre observateur, dont la tête serait en S', le dos appuyé sur la face A'S'B' et le regard dirigé vers S'C, aurait Tarêie S'A' à sa gauche et l'arête S'B' à sa droite.

Dans ces conditions, les deux trièdres sont égaux, c'est àdire supcrposables. En effet, si l'on place la face A' S' B' sur son égale ASBy de façon que S'A' coïncide avec SA et S'B' avec SB>

44 GÊOVfiTRIB DANS L*ESPACB.

Tarêle S'C tombe, par rapport au plan ASB, du même côié que se, sans quoi la disposition des éléments serait différente dans les deux trièdres. Alors, les dièdres SA et S'A' étant égaux, le plan A'S'C s'applique sur le plan ASC; de même, les dièdres SB et S'B' étant égaux, le plan B'S'C s'applique sur le plan BSC; donc, enfin, les arêtes S'C et SC se confondent ei les deux trièdres coïncident.

»• Ledeuxième cas résulte du précédent, dont il est le corrélatif (^l^),Yxi effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont une face égale adjacente à deux dièdres respectivement égaux et semblablement disposés; ils sont donc superposables et, par suite, il en est de même des trièdres primitifs.

D'ailleurs, la démonstration directe n'offre aucune difficulté; on voit, par un raisonnement analogue au précédent ( i*), que la superposition est possible, si, conformément à l'hypothèse, la disposition des éléments est la même.

30 Pour le troisième cas, on pourrait prouver par l'aln surde que le dièdre SB, par exemple, est égal au dièdre S'B', en s'appuyant sur le second théorème énoncé au n® 569.

Voici d'ailleurs une démonstration directe :

Soient SABC et S'A'B'C les deux trièdres; il suffit évidemment de démontrer l'égalité de deux dièdres homologues, des dièdres SA et S'A', par exemple.

Supposons d'abord que les deux faces ASB, ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient deux angles aigus. En un point quelconque 0 de l'arête SA, formons [fig. 33i) l'angle pian

Fig. 33 I,

correspondant à l'angle dièdre SA; en d'autres termes, élevons par le point 0 des perpendiculaires sur SA dans les plans ASB

LITRB V. — LB PLAN. 45

el ASC; les angles ASB et ASC étant aigus, ces perpendiculaires rencontrent les. arêtes SB et SC en deux points M et N que nous joindrons par une ligne droite. Prenons S'O' = SO et construi* sons de même en 0' Tangle plan M'O'N' du dièdre S' A\ Il s*agii de démontrer l'égalité des deux angles plans MON et M'0'N\ Or les deux triangles rectangles SOM, S'O'M'sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux : il en est de même des triangles SON el S'O'N'; par suite, les deux triangles SMN, S'M'N' ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, et enfin les deux triangles OMN, O'M'N' ont les trois côtés égaux chacun à chacun. L'égalité de ces derniers triangles entraîne celle des deux angles MON, M'O'N'.

Supposons en second lieu que les deux angles ASB et ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient quelconques, et prenons

six longueurs égales SA =SB=:SC=S'A'=S'B'=:S'C', à partir des sommets, sur les arêtes des deux trièdres [Jig. 332).

Fig. 33q.

Les triangles isocèles ASB el A'S'B', BSC et B'S'C, CSA et C'S'A'sont égaux deux à deux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux; par suite, les triangles ABC, A'B'C sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun. D'après cela, les deux trièdres A et A' ont leurs faces respectivement égales; d'ailleurs, les angles SAB, SAC, qui comprennent le dièdre AS, sont aigus comme angles à la base de triangles isocèles; donc, en vertu du raisonnement fait dans l'alinéa précédent, le dièdre AS est égal au dièdre A' S'.

4^ Le dernier cas résulte du précédent dont il est le corrélatif* En effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont leurs faces respectivement égales et semblablement disposées; ils sont donc superposabics, et, par suite, il en est do même des trièdres primitifs.

46 GÉOMÉTRIE DANS L'bSPAC ^

SCOUB.

578. Si, dans chacun des quatre cas examinés, la disposition des éléments égaux était difTérente dans les deux trièdres, il n'y aurait plus égalité, mais seulement sy^métrie. En effei, soient ï et T' les deux trièdres proposés, et T, le symétrique de T, c'est-à-dire celui que Ton déduit de T en prolongeant ses arêtes au delà du sommet (^g*. 33o). Les trièdres T et Ti oni leurs éléments égaux et inversement disposés; par suite, comme T et T' remplissent par hypothèse toutes les conditions de l'un des cas d'égalité, sauf celle relative à la disposition des parties égales, les trièdres T' et T, satisferont à toutes les conditions de ce cas d'égalité : ils seront donc superposables; d'o' Ton voit que T' est alors superposable au symétrique de T.

579. Nous avons suffisamment signalé dans le courant de ce paragraphe l'analogie entre certaines propriétés des trièdres ei des triangles rectilignes. 11 importe toutefois d'observer en terminant que, si, à toute propriété des triangles répond une propriété des trièdres, la réciproque n'est pas vraie; par exemple, tandis que l'égalité des angles dièdres de deux trièdres entraîne l'égalité de leurs faces, l'égalité des angles de deux trianglei n'entraîne que la proportionnalité des côtés.