LIVRE YI. — LES POLTftDRBS

pède rectangle AG {fig, 34o) a pour dimensions les longueurs des arêtes AB, AD, A£.

THÉORÈME

597. Les faces opposées d'un parallélipipède sont égales et parallèles.

Soit [Jig. 34a ) le parallélipipède AG. Ses bases ABCD, EFGH sont, par définition, des parallélogrammes égaux et parallèles.

Il faut donc prouver seulement que deux faces latérales opposées, ADHE et BCGF par exemple, remplissent la même condition. Or, AD et BC sont égaux et parallèles comme côtés opposés du parallélogramme ABCD; AE et BF sont aussi égaux et parallèles comme côtés opposés du parallélogramme ABFE. Par suite, les deux angles DAE et CBF sont égaux el leurs plans sont parallèles. Les deux parallélogrammes ADHE, BCGF sont donc égaux et parallèles.

Corollaires.

598. Le parallélipipède étant un prisme compris sous six faces parallélogrammes dont les opposées sont égales et parallèles, on peut prendre pour bases d* un parallélipipède deux faces opposées quelconques ( 591 ).

599. Tout plan qui rencontre deux faces opposées d*un parallélipipède le coupe suivant un parallélogramme. Soit le plan IKLM (fig* 34a) qui rencontre les deux faces opposées ADHE et BCGF du parallélipipède AG. Les côtés opposés de la section IKLM étant parallèles comme intersections de deux plans parallèles coupés par un troisième, cette section est un parallélogramme.

56 GtOJlËTIllli DANS l'espace.

SCOLIE

GOO. Poiip consiruire un parallclipîpèdc sur trois drories données AD, AD, AE, parlant d'un même point A et noiisiluées dans un môme plan [Jig. 34a). il suffit de mener paf l'extrémité non commune de chacune de ces droites un plan parallèle au plan des deux autres. Ainsi, par le point E, on conduira un plan parallèle au plan BAD, par le point D un plnn parallèle au plan BAE, par le point fi un plan parallèle s'i plan DAE. Le polyèdre compris sous les six plans considérés sera un paraUélipipî^de.

THÉORÈME

601. Dam un paraUéUpipède, les quatre diagonales se coupent mutuellement en pailles égales.

Soient (fg. 343) le parallélipipède AG ci ses quatre dijgonale^ AG, CE, BU, DF. Les deux cûiés AE et CG étant égaux et parallèles,fa (IgureACGEest un parallélogramme dont les diagonales AG et CE se coupent mutuellement au point 0 en parties égales. La Hgure ABGIl étant aussi un parallélogramme, les diagonales AG et BII se coupent mutuellement en parties égales, c'est-à-dire au point 0 milieu de AG. On prouverait àe même que la quatrième diagonale DF passe au point 0 cl .v est divisée en parties égales.

SCOLIES

602. On appelle centre d'un parallélipipède le point de rencontre de ses quatre diagonales.

Toute droite KL passant par le poini 0 et limitée à la surface du parallélipipède AG (Jig. 343) est divisée au point" en deux parties égales. En cITel, le plan déterminé parcelle