LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. 6l

polyèdres ou prismes droits ironqués (612) A'B'C'D'E' ABCDE ou A'C el F'G'iri'K'FGHlK ou FH. Celle égalité résulte imtnédiatemeni de la remarque faite au n"* 614 ; car les deux bases A'B'C'D'E', F'G'HTK' sont égales, ainsi que les arêtes correspondantes A'A etF'F, B'B et G' G, etc. A' A, par exemple, est Taréte latérale ou la hauteur du prisme droit A'H', diminuée de AF', et F' F eslTarête latérale du prisme oblique AU, diminuée de la même quantité.

THÉORÈME

616. Le plan mené par deux arêtes latérales opposées d'un parallélipipède le partage en deux prismes triangulaires équivalents.

^oîl ifig" 3^7) le parallélipipède quelconque AG. Le plan AEGC, mené par les arêtes opposées AE et CG, partage ce parallélipipède en deux prismes triangulaires ABCEFG, ACDEGU, dont il s'agit de démo.ntrer l'équivalence.

Menons la section droiie du parallélipipède AG. Cette section OKLM est un parallélogramme (599); et les deux triangles égaux KLM, KMO, suivant lesquels la diagonale KM la divise, sont respectivement les sections droites des prismes ABCEFG, ACDEGH.

Or, le prisme triangulaire ABCEFG est équivalent au prisme droit ayant pour base KLM et pour hauteur AE ( 615); de même, le prisme triangulaire ACDEGH est équivalent au prisme droil ayant pour base KMO et pour hauteur AE. Les deux prismes droits énoncés étant égaux (613)9 les deux prismes triangulaires ABCEFG, ACDEGH sont équivalents, et chacun d'eux est la moitié du parallélipipède AG.

64 GËOMËTRtE DAKS l'kSPACE.

Or, dans le système d'unités adopté, le premier membre <!i' cette relation est égal au nombre qui mesure le volume AN et les rapports qui composent le second membre sont .eipeftivemeiit égaux aux nombres qui mesurent la base et la h'oteur du parallélipipède rectangle proposé. Donc le nonilri qui mesure le volume du parallélipipède rectangle est ép.ilJ' produit des nombres qui mesurent sa base et sa hauteur. Ain-; en désignant ces trois nombres par V, B, H, un a la fonnuK

On préfère énoncer ce théorème usuel d'une manière pli" rapide, quoique incorrecte, en disant : le volume d'un parélélipipède rectangle est égal au produit de sa hase par s: hauteur.

SnoLiES.

62t En se reportant au n' 618, le rapport du panillélipipé^' rectangle AN au cube A'G' peut s'écrire

Les rapports qui composent le second membre étant rcsiiKli* vement égaux aux nombres qui mesurent les arêtes contiË"''' du parallélipipède rectangle, on voit que le nombre qui ni'' sure le volume d'un parallélipipède rectangle est égal au pr»" duit des nombres qui mesurent ses trois dimensions. E" d'autres termes, le volume d'an pamt/élipipède rectangle"' égal au produit de ses trois dimensions.

Ce second énoncé n'est applicable qu'au parallélipip^^' rectangle; nous allons prouver, en terminant ce paragrap'"'' que le premier (620), où entrent explicitement la base f' la hauteur du parallélipipède, est applicable à tous 1^' prismes.

6^. Le volume d'un cube est égal à la troisième puissant' de son arête. Delà, le nom de cu6e donné à la troisième p<J''' sance d'un nombre.