LIVRE TI. — LES POLYÈDRES
ëgai au produit de sa base par sa hauteur» lorsqu'on prend pour unité de volume le parallélipipède rectangle ayant pour base l'unité d'aire quelle qu'elle soit et pour hauteur la longueur prise pour unité de hauteur.
THÉORÈME
G2k, Le volume d'un parallélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.
Soit (Jig, 349) le parallélipipède quelconque AG ayant pour base ABCD ou EFGH et pour hauteur la perpendiculaire £P abaissée du sommet £ sur le plan ABCD. Menons par le point E, dans le plan EFGH, la perpendiculaire £M à HG. Si
Fig. 349.
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l'on prend la face AEHD pour base du parallélipipède proposé (598), son arête latérale sera EF, et sa section droite (607) sera le parallélogramme EMQR déterminé par le plan MEP. Le parallélipipède AG sera donc équivalent au parallélipipède droit RK ayant pour base la secllon droite EMQR et pour hauteur l'arête EF (615).
Cela posé, reproduisons à part, pour plus de clarté (/Ig, 349) ce parallélipipède droit RK, et construisons un parallélipipède rectangle PK ayant pour dimensions EF, EM, EP. Le parai* lélipipède droit RK et le parallélipipède rectangle PK ainsi déterminé présentent seulement comme parties non communes les deux prismes droits qui ont pour hauteur EF et pour bases les deux triangles égaux EPR, MVQ. Ces deux prismes étant égaux (613), les deux parallélipipèdes seront équivalents et, par suite, il en sera de même du parallélipipéfle quelconque AG et du parallélipipède rectangle PK. Donc»
a. et DB C. — Tr. de Géom, (II* Partie). 5
66 GËOHfiTHiB sins l'kspacs.
le produit EF.EU.EP, qui exprime la mesure (621) du pa- Talléllpipède rectangle PK, mesure aussi le volume du parallélipipède quelconque AG. Or, EF.EM mesure la base EFGU de ce parallélipipède, etEP est sa hauteur.
Donc, enfin, le volume du parallélipipède quelconque A<j est égal au produit de sa base par sa hauteur.
THÉORËHB.
623. Le volume d'un prisme quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.
Fis. 35o.
1° Soil [fig. 35o) le prisme triangulaire ABCEFG. Par l'extrémité A de l'arèie AB, menons le plan ADBE parallèle à la face BCGF, et par l'extrémité C de l'arête BC le plan CDHO parallèle à la face ABFE; prolongeons en même temps les deux bases du prisme jusqu'à la renconlre de ces plans. On obtiendra ainsi (600) le parallélipipède AG construit sur le? trois droites BA, BC, BF. La face ACGE du prisme triangulaire considéré étant un plan diagonal du parallélipipède AG. ce prisme en sera la moitié (61C). Donc, le volume du parallélipipède AG ayant pour mesure le produit de sa base ABCP par sa hauteur EP (6-24), le volume du prisme triangulaire ABCEFG aura pour mesure la moiiié de ce produit, c'esi -àdire le produit de sa base ABC, moitié du parallélogramiuf ABCD, par sa hauteur EP.
2» Soil [fig. 35i I un prisme quelconque ABCDEFGHIK. On le décompose en prismes triangulaires en faisant passer drs plans diagonaux par l'arSte AF et chacune des arêtes CH, l"- Ces prismes triangulaires ont pour bases tes triangles AR(^> ACD, ADE, qui composent la base du prisme donné, et leur
LITRB Tt. — LU FOLTbDIBS. 67
liauleur commune est celle H du prisme. La somme de leurs |>
mesures (i") Il
