L'angle de deux plana est égal i métriques
Car, en prenant pour centre de symét de l'angle dièdre donné, on voit que de SCS faces forment le diëdre qui lui e:
SCOLII.
672. Deux plans symétriques par rap parallèles cl équidistanis de ce centre.
Deux plans symétriques par rapport nient inclinés sur ce plan, qu'ils coupei même droite.
THÉORÈME
673. Deux polyèdres symétriques ont chacune à chacune; a' leurs angles dièdi 3* leurs angles polyèdres homologues sy
I* L'égjlité des faces homologues ré^ 3° L'égalité des ongles dièdres lio n"671.
3" Pour montrer clairement la rclaiic angle polyèdre A de la première flgure homologue A' de la seconde (Igorc P' , il
Çp aBoltTRIB DIKB L'iSPACB.
figure symétrique de P en prenant pour centre ie symétrie \i sommet A du premier angle polyèdre. On voit ainsi que l'angle polyèdre A' est l'angle polyèdre opposé par le sommet à l'angle polyèdre A.
THËORÈUE.
G7i. Ûeax polyèdres symétriques P et P* sont équivalents.
Si l'on décompose le polyèdre P en tétraèdres, à cbacuD àc ces tétraèdres répond un tétraèdre symétrique, et l'ensemble de ces tétraèdres symétriques forme le polyèdre P'. De"' polyèdres symétriques P et P', étant d'après cela composés d'un même nombre de tétraèdres symétriqi<es deux à deux, il surill de démontrer que deux tétraèdres symétriques soni équivalents.
Or, soit (/!g. 374) SABC un tétraèdre quelconque. Formons son symélrique SA'B'C par rapport au point S. Les triangle^ ABC, A'B'C sont égaux (670), el leurs plans sont équiili-
FiB. 374.
Frc. 3,5.
Etants du point S (672}. Par suite, les deux tétraèdres SADC. SA'D'C, ayant des bases et des hauteurs égales, sont équi^^ lents.
La symétrie relative à im plan rournirail dans ce cas une démonstraiion tout aussi simple; car, comme la propriété don' il s'agit concerne la grandeur et non la situation, on pc*'' prendre à volonté le plan de symétrie (662). Or, en con^U'i^' sant (fig. 375) la ng,ure S' ABC symétrique de SABC par rapport au plan ABC, on voit que les deux tétraèdres SAB*-
9t> gSohëtiiie dans l'bspacb.
les polygones ABCDE, FGHIK soni semblables (635), elles
races latérales SAB et SFG, SBCetSGH . . ..le sontaussipjr
Flg. 376.
suite du parallélisme des côtés de ces deux polygones.
Quant aux angles polyèdre.":, l'angle polyèdre S est commun. et deux angles trièdres homologues, tels que A ei F, som égaux comme ayant un angle dièdre commun compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablemeni disposées, savoir : l'angle dièdre SA commun, la face SAB épal'" à la face SFG et la face 5AE égale à la face SFK.
THÊOBÈME.
679. Deiix pyramides triangulaires sont semblables. Ionqu'elles ont un angle dièdre égal compris entre drux fi"''' semblables chacune à chacune et semblablemeni disposées.
Soient {fig. 377) les pyramides SABC, S'A'B'C, dans U-^ quelles l'angle dièdre SA est égal à l'angle dièdre S'A', ei li' faces SAB, SAC, semblables aux faces S' A'B', S'A'C, ei semblablement placées.
Portons la seconde pyramide sur la première, de manierf qu'elles aient même sommet et que les faces homologues di' leurs angles dièdres égaux coïncident. Le triangle S' A' B' éiani semblable au triangle SAB et le point A' tombant en D sur^A, S'B' se conTondraavec SB, et le point B' viendra enunpoinil^ tel, que DE soit parallèle à AB. De même le triangle S'A'C. étant semblable au triangle SAC, S'C se confondra avec SC.
I02 GÉOMÉTRIE DANS l'rSPAGB.
Sgolib.
682. Deux poinis O ei 0' rapportés à deux polyèdres semblables sont dits homologues^ ]orsqu*en joignant Tun d'eux 0 aux sommets consécutifs A, B, C de l'un des polyèdres, ei l'autre 0' aux sommets homologues A', B',C' de l'autre polyèdre, on obtient deux tétraèdres OABC,0' A' B'C semblables et semblablement disposés par rapport aux deux polyèdres.
Il résulte de la démonstration précédente que deux points homologues quelconques peuvent être pris pour centres tk décomposition de deux polyèdres semblables, en tétraèdres semblables et semblablement disposés.
Si le point O est extérieur au premier polyèdre, son homologue 0' est aussi extérieur au second polyèdre; il faut alors considérer les deux polyèdres comme composés de tétraèdres additifs et de tétraèdres soustractifs.
Si le point 0 coïncide avec Tun des sommets A du premier polyèdre, son homologue 0' coïncide avec le somnnet A' du second polyèdre, et les diagonales homologues des deux polyèdres, relatives aux sommets A et A', se confondent avec les arêtes latérales de leurs tétraèdres homologues.
683. Deux droites rapportées à deux polyèdres semblables sont di^es homologues, lorsque leurs extrémités sont deux à deux des points homologues. Telles sont, par exemple, les diagonales relatives à des sommets homologues.
Le rapport de deux droites homologues quelconques ^^' égal au rapport de similitude des faces homologues des deus polyèdres.
Soient (^ig:. 38o) ABCDE, A'B'C'D'E' deux faces homologues quelconques des polyèdres donnés, et FH, F'H' deus droites homologues quelconques. Formons les tétraèdres homologues F ABC, F'A'B'CHABC, H'A'B'C. La similitude de ces tétraèdres entraîne celle des tétraèdres FHAO, F'H'A'C En effet, les faces FAC, HAC sont respectivement semblables aux faces F' A'C, H'A'C, et l'angle dièdre FACH, différence des angles dièdres FACB, UACB, est égal à Tangle dièdre
Io4 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGB.
Le second tétraèdre a^^ant pour base D£F et pour hauteur SK« son volume est égal à
DEF.SK
Le rapport cherché est par suite égal à
